Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы в рассматриваемом промежутке, то

Так как и , то формулу интегрирования по частям можно представить в виде или краткой записи - формула интегрирования по частям:

.

Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых трудностей. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида :

,

где многочлен от .

Указания

1. Правило выбора частей:

Если тригонометрическая или показательная функция, то следует положить .

Если логарифмическая или обратная тригонометрическая функция, то .

2. Интегрирование по частям можно применять несколько раз подряд.

3. Интегрирование по частям и некоторых других интегралов можно привести к линейному уравнению относительно этих интегралов после двукратного применения формулы интегрирования по частям.

Примеры.

1) Рассмотрим неопределенный интеграл – натуральное число. В случае положим , , тогда , (произвольную постоянную опускаем) и

(1)

В случае полагаем , тогда, и

(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что

(3)

В случае полагаем , тогда , и

(4)

Из равенств (3) и (4) следует, что .

Аналогично можно поступить при

2) Аналогично можно найти и

Например, рассмотрим, Положив , ,найдем d и . То есть

Положим теперь , . Следовательно, и . Так что и потому

3) Рассмотрим неопределенный интеграл вида положим тогда и

Имеем:

Итак, . В частности, для :

4) Рассмотрим неопределенный интеграл .

Положим , , тогда и .

Имеем . Но

Итак,

5) Рассмотрим неопределенный интеграл

Положим , , тогда

Имеем Сделаем замену переменной: Тогда и .

Значит,

Следовательно,