Емпірична функція розподілу

Як відомо, закон розподілу будь-якої випадкової величини можна задавати функцією розподілу . Якщо мати вибірку значень цієї випадкової величини, то можна побудувати деяке наближення функції розподілу.

Означення 27.10. Емпіричною функцією розподілу називається функція розподілу дискретної випадкової величини, що набуває значення варіант з ймовірністю , тобто:

(27.3)

де = , тобто накопичена частість.

Очевидно, що при і при . На проміжку є неспадною кусково-сталою функцією.

Аналогічно визначається емпірична функція розподілу для інтервального варіаційного ряду. Оскільки, ми маємо лише значення емпіричної функції на кінцях інтервалів, то для графічного її зображення доцільно до визначити , з’єднав точки графіка, які відповідають кінцям інтервалів, відрізками прямої. В результаті отримана ламана співпаде з кумулятою.

Приклад 27.7. Побудувати емпіричну функцію розподілу вибірки, що представлена інтервальним варіаційним рядом прикладу 27.5.

Розв’язання. Для побудови графіка емпіричної функції розподілу використаємо формулу (27.3) та значення табл. 27.3.

Рис.27.3.

Із теореми Бернуллі випливає, що емпірична функція розподілу при прямує за ймовірністю до функції розподілу . Крім того, візьмемо до уваги теорему Глівенко - Кантеллі, згідно якої, при із ймовірністю 1 рівномірно відносно х.