Довірчий інтервал для дисперсії та стандартного відхилення нормального розподілу

Нехай є вибірка з генеральної сукупності випадкової величини , розподіленої за нормальним законом з параметрами та . Поставимо задачу побудови довірчого інтервалу для параметра з наперед заданою довірчою ймовірністю . Як відомо, точковою оцінкою дисперсії є вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання відоме, й виправлена вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання випадкової величини – невідоме. За результатами лекції 23, у випадку відомого математичного сподівання, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності. Аналогічно, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності, якщо математичне сподівання невідоме.

Розглянемо випадок відомого математичного сподівання. При побудові довірчого інтервалу для дисперсії знайдемо . Крива розподілу величини має вигляд (рис. 32.1), тобто не симетрична відносно початку координат.

Рис. 32.1.

Виберемо інтервал , в який попадає випадкова величина з імовірністю так, щоб імовірності виходу величини за границі інтервалу вправо та вліво (заштриховані площі на рис. 32.1) були однакові й дорівнювали , :

та .

Для знаходження чисел та використаємо таблицю значень розподілу хі-квадрат, взяв ступенів вільності. Нерівності та еквівалентні нерівностям та . Отже, шуканий довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини у випадку відомого математичного сподівання має вигляд

. (32.3)

Якщо математичне сподівання невідоме, то величини та знаходимо також із таблиці розподілу хі-квадрат по значенням та , взявши ступінь вільності. Довірчий інтервал при цьому набуває вигляд

. (32.4)

Приклад 32.3. Дана вибірка вимірювання дальності до об’єкту в км: 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Вважаючи, що вимірювання дальності є нормально розподіленою випадковою величиною , знайти довірчий інтервал для дисперсії цієї величини з надійністю = 0,8.

Розв’язання. У якості незміщеної оцінки математичного сподівання беремо вибіркове середнє