Довірчий інтервал для дисперсії та стандартного відхилення нормального розподілу
Нехай є вибірка з генеральної сукупності випадкової величини , розподіленої за нормальним законом з параметрами та . Поставимо задачу побудови довірчого інтервалу для параметра з наперед заданою довірчою ймовірністю . Як відомо, точковою оцінкою дисперсії є вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання відоме, й виправлена вибіркова дисперсія , якщо математичне сподівання випадкової величини – невідоме. За результатами лекції 23, у випадку відомого математичного сподівання, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності. Аналогічно, статистика має розподіл хі-квадрат з ступенями вільності, якщо математичне сподівання невідоме.
Розглянемо випадок відомого математичного сподівання. При побудові довірчого інтервалу для дисперсії знайдемо . Крива розподілу величини має вигляд (рис. 32.1), тобто не симетрична відносно початку координат.
Рис. 32.1.
Виберемо інтервал , в який попадає випадкова величина з імовірністю так, щоб імовірності виходу величини за границі інтервалу вправо та вліво (заштриховані площі на рис. 32.1) були однакові й дорівнювали , :
та .
Для знаходження чисел та використаємо таблицю значень розподілу хі-квадрат, взяв ступенів вільності. Нерівності та еквівалентні нерівностям та . Отже, шуканий довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини у випадку відомого математичного сподівання має вигляд
. (32.3)
Якщо математичне сподівання невідоме, то величини та знаходимо також із таблиці розподілу хі-квадрат по значенням та , взявши ступінь вільності. Довірчий інтервал при цьому набуває вигляд
. (32.4)
Приклад 32.3. Дана вибірка вимірювання дальності до об’єкту в км: 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Вважаючи, що вимірювання дальності є нормально розподіленою випадковою величиною , знайти довірчий інтервал для дисперсії цієї величини з надійністю = 0,8.
Розв’язання. У якості незміщеної оцінки математичного сподівання беремо вибіркове середнє
.
Незміщеною оцінкою дисперсії в цьому випадку буде виправлена дисперсія
.
Оскільки за умовою задачі = 0,8, то
і .
Кількість ступенів вільності дорівнює . За таблицею значень розподілу хі-квадрат знаходимо та .
Отже, за формулою (32.4), границі довірчого інтервалу дорівнюють
та .
Таким чином, шуканий довірчий інтервал для дисперсії такий:
.
Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 876;