Довірчий інтервал для ймовірності появи події при великому обсязі вибірки

За точкову оцінку ймовірності появи події в схемі Бернуллі беруть частість , де – загальна кількість незалежних випробувань, – кількість появ події в цих випробуваннях. Задамо довірчу ймовірність і знайдемо такі величини та , щоб виконувалось співвідношення

Інтервал буде шуканим довірчим інтервалом, який відповідає надійності .

Розглянемо випадок, коли кількість випробувань у схемі Бернуллі достатньо велике, наприклад, . Крім того, виконуються умови та . При виконанні всіх умов розподіл випадкової величини в силу граничної теореми Муавра-Лапласа близький до нормального розподілу , а випадкова величина має наближено нормальний розподіл . Таким чином, статистика

має наближено стандартний нормальний розподіл .

Користуючись таблицею значень функції Лапласа, для заданої довірчої ймовірності знайдемо таке число , при якому

. (32.5)

Розв’яжемо нерівність, що стоїть у дужках виразу (32.5).

Для цього піднесемо її до квадрату, в результаті отримаємо

;

піднесемо до квадрату та перенесемо всі члени нерівності вліво, будемо мати

. (32.6)

Розв’язуючи останню квадратну нерівність, маємо , де

. (32.7)

Цей результат має геометричну інтерпретацію. Розглянемо Декартові систему координат, по осі абсцис якої відкладаємо частість , а по осі ординат – імовірність . Точки з координатами , які задовольняють нерівності (32.6), знаходяться всередині еліпса (рис. 32.2).

Рис. 32.2.

Для того, щоб побудувати інтервальну оцінку ймовірності при відомій частості , треба розглянути множину точок всередині еліпса з абсцисою, що дорівнює . Цей інтервал і буде шуканим довірчим інтервалом .