Графический метод решения задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции.

L (x) = (1.1)

при условиях

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

где a_ij , b_i , c_j – заданные постоянные величины и k ≤ m.

Определение. Функция (1.1) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (1.1) – (1.4), а условия (1.2) – (1.4) - ограничениями данной задачи.

Определение. Стандартной (симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.2) и (1.4), где k = m и l = n .

Определение. Канонической(основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.3) и (1.4), где k = 0 и l = n .

Определение. Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям задачи (1.2) – (1.4), называется допустимым решением (планом).

Определение. План , при котором целевая функция задачи (1.1) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Определение. Опорный план называется неврожденным, если он содержит m положительных компонент, в противном случае – план вырожденный.

Свойства основной задачи линейного программирования (1.5) – (1.7) тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств.

Определение. Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую комбинацию.

Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий. Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, полуплоскость, круг, шар, куб, полупространство и др.

Определение. Тоже Х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек данного множества.

Например, угловыми точками треугольника являются его вершины, круга – точки окружности, которая его ограничивает.

Теорема 1. Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым ( если оно не пусто).

Теорема 2. Если основная задачи линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение достигается более чем в одной вершине, то целевая функция принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин.

7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.

Замечания.

1. Нахождение минимального значения целевой функции отличается от нахождения ее максимального значения при данной системе ограничений тем, что начальная прямая передвигается в направлении, противоположном вектору N.

2. В случае, когда требуется найти минимум функции (1.1), можно решить задачу на максимум целевой функции, так как

min L(X) = – max (–L(X)).

3. Если ограничения исходной задачи отражают расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной равно объему соответствующего неиспользуемого ресурса.

4. Если максимум (или минимум) целевой функции достигается на отрезке АВ многоугольника решений, то необходимо определить координаты угловых точек А(x₁^(А), x₂^(А)) и В(x₁^(В), x₂^(В)) и вычислить значение целевой функции в этих точках. При этом = и множество оптимальных планов можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек отрезка АВ:

где 0 ≤ α ≤ 1. (1.12)

Пример.

Найти максимум и минимум линейной функции = –2x₁+8x₂ → extr при условиях:

Построим на плоскости x₁0x₂ многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:

Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение.

Многоугольником допустимых решений задачи является пятиугольник ABCDE, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую и вектор . Передвигая начальную прямую параллельно самой себе в направлении вектора , найдем точку D, в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой. Следовательно, в точке D целевая функция принимает максимальное значение. Так как точка D получена в результате пересечения прямых I и IY, то для определения ее координат решим систему уравнений: .

Решая систему уравнений, получим , ;

Для нахождения минимального значения целевой функции задачи, начальную прямую перемещаем в направлении, противоположном вектору . Как видно из условий задачи, начальная прямая параллельна прямой (III), так как коэффициенты при переменных x₁ и x₂ пропорциональны . Поэтому начальная прямая займет положение опорной прямой в точках А, Е и в любой точке отрезка АЕ, в которых целевая функция принимает одно и тоже минимальное значение. Для определения координат угловых точек А и Е решим системы двух линейных уравнений:

1. .

Получим ; ; _{в т.А}

2.

Получим ; ; _{в т.Е}

Выразим координаты любой точки отрезка АЕ через координаты угловых точек, т.е. запишем множество минимальных решений:

= ;

где 0 ≤ α ≤ 1

= = .

Таким образом, оптимальный план задачи:

, ;

= ,

Подставляя любые значения α от 0 до 1 , получим координаты множества точек отрезка АЕ, в каждой из которых целевая функция принимает минимальное значение, равное – 8.