Теориялық механиканың негізгі ұғымдары 2 страница

, ,

немесе

(10)

мұндағы және сәйкесінше , векторлары мен өсінің арасындағы бұрыштар.

Сонымен, (10) өрнегі ізденді күштің өске қатысты моменті мен күштің осы өстегі нүктеге қатысты момент векторы арасындағы байланысты тұжырымдайды, күштің өске қатысты моменті осы өсте алынған нүктеге қатысты күштің момент векторының өстегі проекциясына тең.

Күштің координаталар өстеріне қатысты моменттерінің формулалары. Егер кеңістіктегі күш координата өстеріндегі проекцияларымен берілген болса және күштің түсу нүктесінің координаттары белгілі болса, күштің өске қатысты моменті мен күштің осы өстегі нүктеге қатысты момент векторы арасындағы байланысты пайдаланып, (7 - сурет)күштің координаталар өстеріне қатысты моменттерін есептейтін формулаларды алуға болады.

өсі үшін,

Сондықтан,

Осы сияқты, өстері үшін,

Сонымен, күштiң координат өстерiне қатысты моменттерiнiң шамалары мынадай өрнектермен анықталады

(11)

Статиканың аксиомалары. Дененің тепе-теңдікте болу шарттары өмірлік тәжірибеден негізделген және дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше жағдайға негізделіп қорытылады.

Оларды статиканың аксиомалары деп атайды.

Статиканың негізгі аксиомалары ағылшын ғалымы Ньютон (1642-1727) тұжырымдаған, сондықтан да олар ғалымның атымен аталады.

1 - аксиома (екпін аксиомасы немесе Ньютонның бірінші заңы). Қандай да болмасын күштер мәжбүр етпесе, дене тыныштықтағы немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыстағы күйін сақтай алады.

Екпін немесе екпіндік деп, қозғалыстағы заттық дененің күш әсері болмаса да қозғалысын сақтайтын немесе күш әсерінен қозғалысын біртіндеп өзгертетін мүмкіндігін атайды.

2 - аксиома (екі күштің тепе-теңдік шарты). Екі күш түскен еркін қатты дене тепе-теңдігі үшін, күштердің шамалары (модульдері) тең және әсер сызықтары бір болып қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті, яғни , егер және (9 - сурет).

Басқаша айтқанда, екі күш тепе-теңдікте болу үшін, олардың модульдері тең болуы және бір түзу бойымен қарама–қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті.

3 - аксиома (теңестірілген күштерді қосу не алып тастау, шығару принципі). Кез келген күштер жүйесіне нөлге эквивалент күштер жүйесіне қосқаннан немесе алып тастағаннан (шығарғаннан) берілген жүйенің қатты денеге жасайтын әсері өзгермейді.

Егер және екі күштер жүйесі болса, онда бұл аксиома былай жазылады

4 - аксиома (параллелограмм ережесі). Қатты дененің бір нүктесіне түсірілген екі күштің тең әсерлі күшінің шамасы мен бағыты берілген күштерден құрылған параллелограмм диагоналымен анықталады да, сол нүктеге түсіріледі.

Қабырғалары берілген векторлар болатын параллелограмм диагоналын тұрғызуды (10, а - сурет) векторлық немесе геометриялық қосу деп атайды. Демек, бір нүктеге түсірілген екі күштің тең әсерлі күші осы күштердің векторлық қосындысына тең

және сол нүктеге түсіріледі.

Күш параллелограммен қатар екі жүйенің тең әсерлі күшін, күш үшбұрышымен де анықтауға болады. (10, b - сурет). Тең әсерлі күштің шамасы 10, b, c - суреттерінен көрінетіндей векторлардың қосылу тәртібіне байланысты емес, яғни

5 – аксиома (әсер және қарсы әсер заңы). Екі дене бір–біріне әрқашан модульдері тең, бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

Бұл аксиома физикада Ньютонның үшінші заңы деп аталады. Бесінші аксиома механикада өте маңызды орын алады. Егер денесі денесіне күшімен әсер етсе, денесі денесіне дәл осы сияқты модульді күшімен қарама-қарсы бағытта әсер етеді (11 - сурет). және күштерінің модульдері тең, ал бағыттары бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталса да, олар әр денеге түсірілгендіктен тепе-теңдіктегі күштер жүйесін құра алмайды. Бұл күштердің бірін тура әсер етуші күш деп қараса, екіншісі қарсы әсер күш болып табылады. Сонымен аксиома бойынша әрбір әсерге оған тең және қарама-қарсы бағытталған қарсы әсер болады. Осыдан барып табиғатта сыңар күш болмайтыны, әрбір күшке үнемі онымен бірге екінші бір қарама-қарсы күш сәйкес келіп отыратыны байқалады.

6 – аксиома (қатаю ережесі). Деформацияланатын дене абсолют қатты денеге айналса да механикалық күйі өзгермейді.

Басқаша айтқанда, берілген күштер жүйесі әсерінде тұрған деформацияланатын дене тепе-теңдігі, егер дене мезетте қатайса да, яғни абсолют қатты денеге айналса да өзгермейді.

Бұл ережеден абсолют қатты дененің тепе-теңдігінің қажет және жеткілікті болатын шарттарының деформацияланатын дене тепе-теңдігі үшін тек қажетті ғана болып, жеткілікті болмайтындығы көрінеді. Мысалы, егер күштер әсеріндегі резенкеден жасалған дене оның тепе-теңдігі дене абсолют қатты денеге айналса да сақталады. Ал бірақ та күштер тепе-теңдікте тұрған абсолют қатты дене бірден резенкеден жасаған денеге айналса, онда дене тепе-теңдік күйін сақтай алмауы мүмкін.

Статиканың қарапайым теоремалары. Күшті әсер сызығы бойымен көшіру теоремасы. Кез келген күшті, әсер ететін дененің механикалық күйін өзгертпей-ақ өзінің әсер сызығы бойымен басқа нүктеге көшіруге болады.

күші қатты дененің нүктесіне түсірілген, осы күшті әсер сызығы бойындағы қандай да бір нүктесіне көшіру қажет делік (12, а - сурет). күшін,ің әсер сызығы бойымен нүктесіне өзара тең, қарама-қарсы бағытталған және күштерін түсірейік (12, b - сурет). Бұл күштердің шамасы берілген күшінің шамасына тең болсын және

сондықтан да нүктесіндегі екі күш нөлге эквивалент болатын жиын құрайды, онда

Үшінші аксиома бойынша

Соңғы үш күштен тұратын жүйеде және күштері екінші аксиома бойынша

Олай болса, үш күштен тұратын жүйеден оларды алып тастауға болады.

Бұл дегеніміз нүктесіне түсірілген күшін, әсер сызығы бойынша нүктесіне көшірілгенмен пара-пар (12, с - сурет). Теорема дәлелденді.

Сонымен, денеге әсер ететін күшін, өзінің әсер ету сызығының бойымен кез келген нүктеге көшіруге болады.

Әсер сызығы бойынша көшіруге болатын векторларды сырғыма векторлар деп атайды. Демек қатты денеге әсер етуші күштер де сырғыма векторлар болып табылады.

Үш күш туралы теорема. Егер бір-біріне параллель емес, бір жазықтықта жататын үш күш тепе-теңдіктегі күштер жиынын құрайтын болса, онда күштердің әсер сызықтары бір нүктеде қиылысады.

Қатты дененің нүктелерінде бір жазықтықта жатқан, өзара параллель емес күштері берілсін делік (13 - сурет) және күштерінің әсер сызықтары бір нүктеде қиылысатын болсын. және күштерін әсер сызықтары бойымен нүктесіне көшіріп, параллелограмм ережесі бойынша осы күштердің тең әсерлі күшін, анықтайық

Олай болса,

Теорема шарты бойынша

Сондықтан,

Екінші аксиомаға сәйкес, екі күштің тепе-теңдікте болуы үшін олар бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталулары қажет. Олай болса үшінші күштің де әсер сызығы нүктесінен өтуге тиісті. Сонымен теорема дәлелденді.

Байланыстар мен олардың реакциялары. Механикада еркін және еркін емес денелер қарастырылады. Кеңістіктегі кез келген бағытта қозғала алатын дене еркін дене деп аталады. Егер дененің кеңістіктегі қозғалысы қандай да бір басқа денемен шектелген болса, онда ол еркін емес дене деп аталады. Берілген дененің қозғалысын шектейтін денені байланыс деп атайды. Дененің байланысқа әсер ететін күшін қысым күші деп атайды, ал байланыстың денеге әсер күшін байланыс реакциясы немесе жай ғана реакция дейді. Өзара әсер заңы негізінде, бұл күштер бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағыттала әсер ететін күштер. Сонымен қатар бұлар әр денеге түскендіктен күштер жиынын құра алмайды.

Денеге әсер ететін күштер актив және реактив күштер болып екіге бөлінеді. Тыныштықтағы денені қандай да бір қозғалысқа келтіре алатын күшті актив күш деп атаса, осы қозғалысқа кедергі болатын күшті реактив күш деп атайды. Актив күштердің модульдері мен бағыттары алдын ала беріледі және денеге әсер ететін басқа күштерге тәуелсіз болады, ал реактивті күштердің шамалары мен бағыттары көп жағдайда алдын ала белгісіз және денеге әсер етуші актив күштерге тәуелді болады. Актив күшті жиірек жүктеме деп атайды.

Статиканың көптеген есептерін шешкенде еркін емес денені еркін дене ретінде қарастырады. Ол мүмкіндік байланыстар аксиомасы немесе дененің босану ережесіне негізделген. Бұл аксиома былай тұжырымдалған: байланыстарды алып тастап, оларды реакциялармен алмастыру арқылы кез келген еркін емес дене актив және реактив күштер әсеріндегі еркін дене ретінде қарастыруға болады.

Реакциялардың модульдері мен бағыттары алдын ала белгісіз, модульдері актив күштердің модульдеріне тәуелді болса, бағыттары дененің қандай бағыттағы мүмкіндік қозғалысын байланыстардың шектейтініне байланысты.

Енді конструкцияларда кездесетін байланыстардың негізгі түрлеріне тоқталып, олардың реакцияларының мүмкін болатын бағыттарын көрсетейік.

1) Идеал жылтыр бет. Идеал жылтыр беттің реакциясы әр уақытта да жанасушы беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады (14, а - сурет).

2) Иілгіш байланыс. Мұндай байланысқа абсолют созылмайтын және салмақсыз деп құрастырылатын жіп, арқан және шынжыр жатады. Иілгіш байланыстар тек созылған жағдайда ғана жұмыс істейді, сондықтан реакциялары олардың бойымен байланыстардың ілінген нүктелеріне қарай бағытталады (14, b, c - сурет).

3) Жылжымалы топсалы тірек. Жылжымалы топса дененің тіреу жазықтығымен қозғалыс жасауына кедергі келтірмейді де, оған перпендикуляр бағыттағы қозғалысын шектейді. Сондықтан да оның реакциясы әрдайым тіреу жазықтығына перпендикуляр бағытталады (15, а, b - сурет).

Жылжымалы топсалы тіректердің шартты белгілену түрлері 15, c, d - суреттерде көрсетілген.

4) Жылжымайтын топсалы тірек. Мұндай тірек денеге топсаны емін- еркін айнала қозғалуына мүмкіндік береді де, оның топса өсіне перпендикуляр кез келген бағыттағы ілгерлемелі қозғалысын шектейді (16, а – сурет).

Демек, жүктелген дененің топса өсіне перпендикуляр жазықтықта қандай бағытта тірекке әсер ететіні алдын-ала белгісіз. Сөйтіп, реакциясы бұл жазықтықта кез келген бағытта болуы мүмкін (16, а -сурет) Бағыты да, шамасы да белгісіз, толық реакцияның орнына әдетте оның координаталық өстердегі проекциялары анықталады. Егер және проекциялары белгілі болса, онда толық реакцияның шамасы мен бағытын 4-аксиома бойынша анықтауға болады. 16, b, c - суреттерде жылжымайтын топсалы тіректің шартты кескіндеулері көрсетілген.

5) Жылжымайтын сфералық топсалы тірек. Бұл топса денеге кеңістікте әсер ететін жағдайда пайдаланылады. Сфералық топса дененің бір нүктесін қозғалмайтын етіп бекітеді. Дене осы бекітілген нүктесі арқылы өтетін өспен айнала алады. Қозғалмайтын нүктедегі реакция кеңістікте кез келген бағытта болуы мүмкін. Сондықтан да ол өзінің проекциялары арқылы ізделінеді (17, а - сурет).

6) Жылжымайтын өкшелі тірек. Бұл тірек цилиндрлік топса мен жазықтық беттің байланысынан болады. Реакцияның бағыты да, шамасы да алдын-ала белгісіз, оның орны мен шамасы координаталық өстердегі жіктеулері арқылы анықталады (17, b - сурет).

7) Қатаң байланыс. Бұл тірек өзіне бекітілген дененің екі (жазық және тік) бағытта қозғалуына және дененің тірекке қарағанда бұрылуына мүмкіндік бермейді (18, а - сурет). Қатаң тіректің шартты кескіндеуі 18, b, c - суретте көрсетілген. Мұндай тіректің үш реакциясы бар: тік бағыттағы жазық бағыттағы және момент . Бұл реакциялардың бағыттары мен шамалары алдын-ала белгісіз болады

Әдебиеттер тізімі

1. Аманжол М. Нұғыман. Теориялық механика негіздері. – Шәкәрім атындағы Семей мемлекеттік университеті. – Семей: СМУ, 2002. – 259 б.

2. Дүзелбаев С.Т. Инженерлік механика: Оқулық жоғары кәсіптік мамандар дайындайтын техникалық оқу орындарының студенттеріне арналған. – Астана: ЕҰУ ҒБО, 2010. – 440 б.

3. Жолдасбеков Ө.А., Сағитов М.Н. Теориялық механика. – Алматы: Атамұра, 2002.– 575 б.

4. Жолдасбеков Ө.А., Ахметов А.Қ. Теориялық механика есептер жинағы. – Алматы: Ғылым, 2003. – 394 б.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб для втузов. – М.: Высш. шк., 2003. – 416 с. и предыдущие издания, начиная с издания 1986 г.

6. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов/Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 2003. – 719 с.

7. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 768 с.

8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. – 448 с.

9. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1983.

10. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах: Том 1 «Статика и кинематика», Том 2 «Динамика». – СПб.: Издательство «Лань», 2002. –736 с.

2лекция

Күштер жиындарын қарапайым түрге келтіру. Күштердің тепе-теңдік шарттары

Жинақталатын күштер жиыны. Жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күшін анықтаудың геометриялық әдісі. Әсер сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жиыны жинақталатын күштер жиыны деп аталады. Берілген барлық күштердің әсер сызықтары бір жазықта жатса, онда күштер жүйесін жазық жинақталатын күштер жиыны деп, ал ол күштердің әсер сызықтары әр түрлі жазықтықта жатса, кеңістіктегі жинақталатын күштер жиыны деп атайды.

Күшті оның әсер сызығы бойымен сырғытуға болады, сондықтан әсер сызықтары қиылысатын нүктеге жинақталатын күштерді әрдайым көшіруге болады.

Теорема. Жазық жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күші сол күштердің векторлық қосындысына тең, оның әсер сызығы күштер жинақталатын нүктеден өтеді.

Қатты дененің нүктелеріне , әсер сызықтары нүктесінде қиылысатын, күштер түсірілген делік (18, а - сурет). Осы күштерді әсер сызықтары бойымен сырғытып, олардың ортақ нүктесі нүктесіне келтірейік. Сонда жинақталатын күштер жиыны бір нүктеге түсірілген күштер жүйесін құрайды (20, b - сурет).