Теориялық механиканың негізгі ұғымдары 1 страница

Негізгі ұғымдар. Күнделiктi өмiр талабынан туған теориялық механика техникамен тығыз байланыста. Бiздiң эрамызға дейiн көптеген жүз жылдар бұрын пайда болған статика құрылыстың өркендеуiнен туған. Одан кейiн оның дамуына теңiзде жүзу, өнеркәсiп, әскери жұмыстар, астрономия әсер еттi де, соңында XV – XVII ғасырларда кинематика мен динамика пайда болды.

Соңғы жылдардың жетiстiктерi – техниканың көптеген түрлерiнде автоматизацияның ендiрiлуi, жердiң жасанды серiктерiнiң пайда болуы, космос ракеталарын ұшыру және планетааралық лабораториялардың пайда болуы - теориялық механиканың, асқан дарынды ғалымдар мен инженерлердiң еңбегiмен туған ғылымның онан әрi өркендеуiне әкелуде.

Теориялық механика - жаратылыстану ғылымдарының бірі болып табылады. Механикалық қозғалыстың табиғатта да, техникада да өте жиі кездесетінін ескерсек, қазіргі жаратылыстану ғылымы мен техника үшін теориялық механиканың мәні зор.

Жаратылыстану ғылымның бұл бөлімінде материалық денелердің жалпы қозғалыс заңдылықтары және олардың тепе-теңдіктері жөніндегі мәселелер қарастырылып, олардың өзара әсерлерінен пайда болатын жағдайлар анықталады. Теориялық механикада күрделі құрылымды физикалық денелердің орнына олардың ерекше қасиеттері көрсетілген болжамды қарапайым модельдерінің механикалық қозғалыстары қарастырылады. Дененің қозғалысын зерттейтін бұл әдісті абстракция әдісі деп атайды. Материалық дене модельдері үшін, теориялық механикада материалық нүкте, материалық нүктелердің механикалық жүйесі, абсолют қатты дене алынады.

Материалық нүкте деп өлшемдері ескерілмей белгілі массасы бар нүкте ретінде қарастырылып зерттелінетін дене аталынады.

Абсолют қатты дене деп кез келген екі нүктесінің ара қашықтығы өзгермейтін, яғни геометриялық пішінін өзгертпей сақтай алатын денені айтады. Абсолют қатты ұғымы - абстракциялық ұғым.

Материалық нүктелердің кез келген жиынтығын материалық нүктелер жүйесі деп атаймыз.

Материалық нүктелердің механикалық жүйесі деп әрбір нүктесінің кеңістіктегі орны және қозғалысы оның өзге нүктелерінің орындары мен қозғалыстарына тәуелді болатын материалық нүктелер жүйесі аталынады.

Дененің кеңістіктегі қозғалысыуақытқа байланысты болады, яғни оның кеңістіктегі орны уақыт өткен сайын өзгеріп отырады. Дененің кеңістіктегі орны басқа бір қозғалмайтын денеге және осы денеге бекітілген координат жүйесімен салыстыру арқылы анықталады. Дене мен оған бекітілген координат жүйесі санақ жүйесі деп аталады.

Механикадағы кеңістік - үш өлшемді Евклид кеңістіктігі. Кеңістіктегі өлшеулер Евклид геометриясындағы әдістерді қолдану арқылы жүргізіледі. Қашықтықты өлшеуге метр алынады. Механикада уақыт әмбебап шама деп есептелінеді, яғни барлық санақ жүйелерінде бірдей болады. Уақытты секундпен өлшейді. Уақыт - ылғи өзгеріп отыратын скалярлық шама.

Теориялық механикада денелердің тепе-теңдігін, сонымен қатар оларға әсер ететін бір күштер жиынын басқа эквивалентті жүйемен алмастыруды қарастыратын бөлімін статика деп атайды.

Статика деген сөз (грек тілінде -statike) бір орында тұру, қозғалмау, тыныштықта болу дегенді білдіреді. Басқаша айтқанда статика негізінен екі мәселемен айналысады: біріншісі – заттық объектілерге әсер ететін күштер жиынын қарапайым түрге келтіру; екіншісі – заттық объектілерге әсер ететін күштер жиынының тепе-теңдік шарттарын тағайындау. Жоғарыда айтылғанға байланысты статиканы қысқаша күштер туралы ғылым деп те атайды.

Өмірде кездесетін нақты денелер көптеген қасиеттерімен, сонымен қатар пішінімен, өлшемімен, заттарымен (материалымен) және массасымен ерекшеленеді. Теориялық механикада табиғатта кездесетін нақты денелер емес, олардың идеал қасиеттерімен бөлінген абстракт түрлері (модульдері) – заттық нүкте, заттық нүктелер жүйесі және абсолют қатты дене қарастырылады.

Күш. Табиғаттағы заттық денелер әрдайым өзара немесе қоршаған ортамен әсерде болады.

Күш деп денелердің өзара механикалық әсерлерінің өлшемін атайды. Күнделікті тұрмыста, техника саласында күштің денеге әсері оның шамасы (модулі), бағыты және түсу нүктесі арқылы анықталатынын көреміз. Бұдан күшті векторлық шама деп қарастыруға болатындығы шығады.

Физикадан белгілідей күш шамасы динамометрдің жәрдемімен өлшенетін салмақ арқылы анықталады.

Механикада күштің өлшем бірлігі ретінде физикалық шамалардың өлшеу бірліктерінің халықаралық системасынада (СИ) 1 Ньютон алынады.

Ньютон деп массасы 1 кг денеге күш әсері бағытында 1м/с² үдеу беретін күш аталады. Ньютонның еселік бірліктері – килоньютон (1кН = 10³Н) және меганьютон (1МН = 10⁶Н).

Күшті кез келген вектор сияқты бағытталған кесіндімен бейнелеуге болады. Вектор - тың АВ кесінді ұзындығы (1- сурет) белгілі бір масштабта алынған сан мәнін (модулін) бейнелейді, ал оның бағыты күштің әсер ету бағытына дәл келеді. Ол вектордың бас нүктесі А күштің денеге әсер ететін нүктесіне сәйкес болады. Дененің күш әсер етіп тұрған А нүктесі күштің түсу нүктесі деп, ал бойымен күш векторы бағытталған сызығын күштің әсер ету сызығы деп атайды.

Қатты денеге бір мезетте бір ғана емес, бірнеше күш әсер етуі мүмкін (2 – сурет). Оларды деп белгілейік.

Қандай да бір денеге бір мезгілде әсер ететін күштер жиынын күштер жүйесі деп атайды.

Күштер жүйесі дөңгелек жақшалар ішінде алынған күш векторларымен белгіленеді. Мысалы: - күштен тұратын күштер жүйесі.

Дененің механикалық күйін өзгертпей әсер етуші күштер жүйесін тепе–теңдіктегі күштер жүйесі деп немесе нөлге эквивалентті (пара-пар) күштер жүйесі деп атайды.

Денеге бірдей механикалық әсер етуші әр түрлі күш жиындары бір-біріне эквивалент жүйелер деп аталады.

Егер және екі күштер жүйесі болса, онда бұл анықтама былай жазылады

Эквивалент екі күштер жүйесінің қандай да болмасын бір денеге әсерлері бірдей болғандықтан, олардың біреуін екіншісімен алмастыруға болады.

Қатты денеге түсірілген күштер жүйесі бір күшке эквивалент болса, онда ол күшті берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші деп атайды

Берілген күштер жүйесінің теңестіруші күші осы жүйенің теңгеруші күші деп аталады.

Қандай да болмасын бір күштер жүйесінің тең әсерлі және теңгеруші күштері шама жағынан тең болып, денеге бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытта әсер етеді. Теңгеруші күштер жүйесінің тең әсерлі күші нөлге тең, басқаша айтқанда, теңестірілген күштер жүйесі нөлге эквивалентті.

Егер қатты денеге әсер етуші күштер жүйесі тепе-теңдіктегі күштер жүйесін құрайтын болса, онда бұл дененің өзі де тепе-теңдікте болады. Бұл тұжырымнан тыныштықта тұрған денемен қатар бірқалыпты түзу сызықты ілгерлемелі қозғалыстағы денені де тепе-теңдікте деп қарастыруға болады.

Күштің өске проекциясы. Белгілі бағытталған түзу сызықты өс деп атайды. Күштің өске проекциясы деп, күш векторының ұштарынан өске түсірілген екі перпендикулярмен шектелген, өстің бағытталған кесіндісі аталады. Егер кесінді бағыты өстің оң бағытымен сәйкес келсе, күштің өске проекциясы оң таңбалы деп есептеледі. Егер кесінді бағыты өстің оң бағытына қарама-қарсы болса, күштің өске проекциясы теріс таңбалы делінеді.

күші мен өсі берілген делік (3, а - сурет). күшінің өсіне проекциясы кесіндісімен кескінделген және проекциясы оң таңбалы.

3, а - суретте көрсетілгендей, , ал ұшбұрышынан , олай болса

. (1)

Сонымен, күштің өске проекиясының шамасы осы күштің модулін өстің оң бағыты мен күштің бағыты арасындағы бұрыш косинусына көбейткенге тең.

(1) өрнегі, егер күш пен өстің оң бағыты арасындағы бұрыш сүйір болса, күштің проекциясы оң таңбалы болатынын көрсетеді.

Егер күш векторының өстің оң бағытымен жасайтын бұрышы доғал болса, күштің проекциясы теріс таңбалы болады, яғни болса, онда (3, b - сурет)

Егер күш берілген өске параллель болса, онда оның проекциясы сәйкес таңбамен алынған күштің модуліне тең (3, c, d – сурет), яғни

Егер күш берілген өске перпендикуляр болса, онда оның проекциясы нөлге тең (3, e – сурет), яғни

жазықтықтың А нүктесіне түсірілген күшін, және өстеріне проекциялайық. күші мен оның және проекциялары I.1.4 - суретте көрсетілген

; .

Күштің және проекциялары өзара перпендикуляр болғандықтан, егер күштің екі проекциясының шамалары белгілі болса, күштің модулі мен күш векторының бағытын анықтауға болады. Ол үшін, үшбұрышын қарастырсақ, онда күштің модулі

. (2)

Ал күштің бағыттаушы косинустары

; . (3)

күшін, координата өстеріне параллель екі және күштерінің тең әсерлі күші іспетті қарастыруға болатынын атап өтуге болады (4 - сурет). күшін,ің құраушы күштері пен векторлық шама болып, күштің проекциялары пен алгебралық шама болғандықтан, күштің құраушылары мен проекциялары бір-бірінен айрықша ерекшеленеді.

Күш моменті. Күштің нүктеге қатысты моменті. Тұрмыста белгілідей, қатты дене өзіне түсірілген күш әсерінен тек ілгерілей қозғалып қоймай, сонымен қатар белгілі бір нүктеге қатысты айнала да қозғалады. Күштің денеге айналдырушы әсері күш моменті деген ұғыммен сипатталады.

Күштің нүктеге қатысты моменті деген ұғымды механикаға енгізген қайта өрлеу дәуірінің италяндық ғалым және суретші Леонардо да Винчи (1452-1519).

Күштің нүктеге қатысты моменті деп, плюс не минус таңбамен алынған күш модулі мен осы нүктеден күштің әсер сызығына дейін түсірілген перпендикуляр ұзындығына көбейтіндісін айтады.

күші нүктесінде бекітілген денені осы нүктеге қатысты айналдыруға тырысады делік (5, а - сурет), онда күш моменті

. (4)

нүктесі, оған қатысты күш моменті алынатындықтан, момент центрі деп, ал нүктесінен күштің әсер сызығына дейін түсірілген перпендикуляр ұзындығын күштің осы нүктеге қатысты иіні деп атаймыз.

Күш моментінің жүйесіндегі өлшем бірлігі ньютонметр, яғни .

Егер күш денені берілген нүктеге қатысты сағат тілі айналысына кері бағытта айналдыруға тырысса, онда күш моменті оң таңбалы деп (6, а – сурет), ал егер сағат тілі айналысымен бағыттас айналдыруға тырысса, онда күш моменті теріс таңбалы деп (6, b – сурет) ұйғарылған.

Күштің әсер сызығы бойындағы жататын нүктеге қатысты алынған күш моменті нөлге тең, өйткені бұл жағдайда күш иіні нөлге тең.

Сонымен, күш моментінің шамасы мен бағыты (таңбасы) момент алынатын нүктенің орнына байланысты екенін тұжырымдаймыз.

Нүктеге қатысты күш моментінің шамасы геометриялық жолмен анықтағанда екі еселенген үшбұрышының ауданына тең (5, а - сурет).

.

Күштің түсу нүктесін оның әсер сызығы бойымен жылжытудан күш моменті өзгермейді.

Күштің нүктеге қатысты моментінің векторы. Қатты денеге түсірілген кеңістіктегі күштер жүйесін қарастырғанда күштің нүктеге қатысты моментінің векторы деген ұғым қолданылады. Күштің нүктеге қатысты моментінің векторы деп, осы нүктеге түсірілген және шамасы күш модулі мен осы нүктеге қарағандағы иіннің көбейтіндісіне тең векторды айтады. Күш моментінің векторы күш және моменттік нүкте жатқан жазықтыққа перпендикуляр, сонымен қатар ұшынан қарағанда күштің денені сағат тілі жүрісіне қарама-қарсы айналдыруға тырысатын бағытта түсіріледі.

Күштің О нүктесiне қатысты момент векторын , ал оның сандық мәнін деп белгілейік. Онда анықтамаға сәйкес

.

Күштің нүктеге қатысты моменті векторының модулі, алгебралық момент секілді күш пен моменттік нүктеде тұрғызылған үшбұрыштың екі еселенген ауданына тең.

.

күшін,ің О нүктесiне қатысты момент векторы былайша жазылады (5, b - сурет)

, (5)

Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы бойынша

Олай болса

.

Егер кеңістіктегі күш координата өстеріндегі проекцияларымен берілген болса және күштің түсу нүктесінің координаттары белгілі болса (7 - сурет), яғни

болса,

. (6)

Бұл формуладан күш моменті векторының координат өстерiне проекцияларын келтіруге болады

(7)

Нүктеге қатысты күш моментi векторының модулін (шамасы) және бағыттаушы косинустарын келесі өрнектермен анықтаймыз

(8)

(8) өрнектерінде күш моментi векторының сандық мәні оң таңбамен алынады.

Күштің өске қатысты моменті. өсімен қиылыспайтын және оған параллель емес күші әсерінен өсінің төңірегінде айналу мүмкіншілігі бар денені қарастырайық (8, а – сурет). Күштің өсіне қатысты моментін табу үшін, күшін, осы өске перпендикуляр жазықтыққа ( жазықтығы) проекциялау керек. Бұл проекцияны арқылы белгілейік. Осыдан кейін осы проекцияның өсімен жазықтығының қиылысатын нүктесіне қатысты моментін табамыз

(9)

Сонымен, мынаны тұжырымдаймыз: күштің өске қатысты моменті күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясының, өс пен жазықтықтың қиылысу нүктесіне қатысты моментінің алгебралық шамасына тең. Моменттің таңбалары күштің нүктеге қатысты моментіне ұқсас анықталады. Егер күштің әсер сызығы өс арқылы өтетін болса немесе өске параллель болса, онда күштің өске қатысты моменті нөлге тең.

Күштің өске қатысты моментін оның проекциясымен және өстің жазықтықпен қиылысу нүктесімен тұрғызылған үшбұрышының ауданымен өрнектеуге болады (8, а -сурет)

.

Күштің өске қатысты моментінің күштің осы өстегі нүктеге қатысты момент векторымен байланысы. Дененің А нүктесіне түсірілген күші берілді делік (8, b -сурет). күшін,ің өсіне қатысты моменті , ал нүктесіне қатысты моменті үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр бағытталған момент векторымен анықталады және оның модулі . Осы сияқты, күшін,ің нүктесіне қатысты момент векторының модулі . момент векторы үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр бағытталған. және үшбұрыштарының жазықтығындағы проекциялары үшбұрышы. Геометриядан белгілідей, жазық фигураның проекциясының ауданы, проекцияланатын фигураның ауданын, проекцияланатын фигура жатқан жазықтықпен проекцияланатын жазықтық арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең. Жазықтықтар арасындағы бұрыш жазықтықтарға тұрғызылған перпендикулярлардың арасындағы бұрышпен өлшенеді. үшбұрышы жазықтығының перпендикуляры өсі, ал және үшбұрыштары жазықтықтарының перпендикулярлары сәйкес және момент векторлары. Олай болса,