Приклади розв’язання задач
Задача 1.Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «Середня лінія трикутника менша половини його основи».
Доведення. Розглянемо трикутник
,
– середня лінія. Доведемо, що
.
Через середини сторін і
проведемо пряму і опустимо на неї перпендикуляри з вершин трикутника. Рівності
та
для пар вертикальних кутів і рівність за умовою відмічених пар відрізків дає можливість зробити висновок
та
про рівність прямокутних трикутників (за гіпотенузою та гострим кутом). З цього випливає, що
та
, тобто
. Отриманий чотирикутник
є чотирикутником Саккері. В цьому чотирикутнику
, тобто
. В трикутнику
:
, тобто
, звідки
.
З того, що та
випливає, що
. Таким чином,
.
Задача 2.Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «Кут, під яким діаметр кола видно з будь-якої точки цього кола, відмінної від кінців діаметра, – гострий»
Доведення. Розглянемо коло з центром в точці та діаметром
. Візьмемо на колі довільну точку
та розглянемо утворений трикутник
. З того, що
як радіуси випливає, що
та
. Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевского менша
, тому
,
Або . Отже,
, тобто він гострий. Доведено.
Задача 3. Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «В прямокутному трикутнику величина хоча б одного з його кутів менше ».
Доведення. В прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює . Якщо припустити, що кожен з останніх двох кутів не менший за
, то їх сума буде більшою за
. Ми отримали суперечність, оскільки в геометрії Лобачевского сума внутрішніх кутів трикутника менша за
.
Задача 4. Довести твердження: «Якщо три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні» (четверта ознака рівності трикутників.)
Доведення. Розглянемо трикутники та
, в яких
,
,
. Потрібно довести рівність відповідних сторін цих трикутників.
Припустимо, що . Існує така точка
, що
. Через точку
проведемо півпряму
так, що
. За теоремою 46 пряма
паралельна стороні
. За аксіомою Паша промінь
перетинає відрізок
, позначимо точку перетину
. Трикутники
і
конгруентні (за теоремою 15). Ми довели, що трикутники
і
подібні та не конгруентні. Але твердження про існування подібних не конгруентних трикутників є еквівалентом п’ятого постулату Евкліда. Отже, отримали протиріччя, а значить
, звідки за теоремою 15 можемо зробити висновок про рівність даних трикутників.
Задача 5. Довести, що існують такі трикутники, навколо яких не можна описати коло.
Доведення. На площині Лобачевського проведемо прямі
. Через точку
проведемо пряму
, яка з прямою
утворює кут
– кут паралельності . Візьмемо точку
, побудуємо точку
, яка симетрична точці
відносно прямої
та точку
, яка симетрична точці
відносно прямої
. Точки
не належать одній прямій, оскільки в противному випадку
, що неможливо для кута паралельності. Розглянемо трикутник
. В ньому пряма
є серединним перпендикуляром до сторони
, пряма
є серединним перпендикуляром до сторони
та
за умовою, тому навколо цього трикутника не можна описати коло.
Задача 5.Довести, що ортогональна проекція однієї зі сторін гострого кута на іншу сторону є півінтервалом.
Доведення. Розглянемо гострий кут . Відомо, що яким би не був гострий кут, завжди існує єдина пряма, перпендикулярна до сторони
цього кута і паралельна стороні
. Отже, точка С не є ортогональною проекцією жодної з точок прямої
на сторону
кута, а кожна з точок півінтервала
буде ортогональною проекцією деякої точки сторони
.
Дата добавления: 2016-12-08; просмотров: 1013;