Лекция 41. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления

План:

1. Алгоритм вычитания

2. Алгоритм умножения

3. Алгоритм деления

2. Решение примеров.

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначно­го числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную раз­ность в таком виде: 485-231 = (4∙10² + 8∙10 + 5)-(2∙10² + 3∙10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4∙10² + 8∙10 + 5 сумму 2∙10² + 3∙10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4∙10² + 8∙10 + 5) – (2∙10² + 3∙10 + 1) =

(4∙10² + 8∙10 + 5) – 2∙10² - 3∙10 - 1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙10² вычтем из слагаемого

4∙ 10², число 3∙10 - из слагаемого 8∙10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда:

(4∙10² + 8∙10 + 5) – 2∙10² - 3∙10 – 1 =

(4∙10² – 2∙10²) + (8∙10 - 3∙10) + (5 – 1)

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычита­ния и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2) ∙10² + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-Зи5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙10² + 5∙10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким об­разом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) ∙10² + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_485

231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде умень­шаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760 - 326 = (7∙10² + 6∙10 + 0) – (3∙10² + 2∙10 + 6)

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение: (7∙10² + 6∙10 + 0) – (3∙10² + 2∙10 + 6).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3) ∙10² + (5 - 2) ∙10 + (10 - 6) или 4∙10² + 3∙10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа

х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

у = b_n ·10ⁿ + b _n-1 ·10^n-1 + ... +b_1·10 + b_0,

х - у =(a_{n +} b_n ) ·10ⁿ + ( a _{n-1 -} b _n-1 ) ·10^n-1 + ... + ( а₁+b₁ ) _·10 + ( а₀ + b₀)

Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность ум­ножения относительно вычитания, можно записать, что

х - у =(a_n - b_n ) ·10ⁿ + ( a _n-1 - b _n-1 ) ·10^n-1 + ... + ( а₁ - b₁ ) _·10 + ( а₀ - b₀) ₍₁₎

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех к выполняется условие а_к > b_к. Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее к, для которого

а_к < b_к. Пусть т - наименьший индекс, такой, что т > к и а_т ≠ 0, а а_т-1 = ... = а_к+1 = 0. Имеет место равенство а_т ·10 ^т = (а_т - 1) ·10 ^т + 9_· 10 ^т-1 + ... + 9_· 10 ^к+1 +10·10 (например, если т = 4, к = 1, а_т = 6, то 6∙10⁴ = 5∙10⁴ + 9∙10³+9∙10²+10·10). Поэтому в равенстве (1) выражение (am - b m ) ·10 ^т +…+ (a к - b к) ·10

можно заменить на (am - b m - 1) · 10 ^т + (9 - b m-1) ·10 + … + (9 - b к+1) ·10 + (a к+10 - b к) ·10 .

Из того, что а_к < b_к < 10, вытека­ет неравенство 0 < 10 + а_к - b_к < 10, а из того, что 0 < b_к < 9, вытекает не­равенство 0 ≤ 9 - b_к < 10, где к + 1 < s < т - 1. Поэтому в записи

х - у =(a_n - b_n ) ·10ⁿ +…+ (am - b m - 1) ·10 ^т + (9 - b m-1) ·10 + ... + (9 - b к+1) ·10 +

(a к+10 - b к) ·10 +…+.( а₁ - b₁ ) _·10 + ( а₀ - b₀) все коэффициенты с индексом, мень­шим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же пре­образования к коэффициентам a_n - b_n, ..., am - b m - 1, через п шагов при­дем к записи разности х - у в виде

х - у = с_n ·10ⁿ + с _n-1 ·10^n-1 + ... +с_1·10 + с_0,

где для всех к выполняется неравенство 0 < с_к < 10. Если при этом ока­жется, что с_п = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до пер­вого коэффициента, отличного от нуля.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алго­ритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответ­ствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшае­мого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b₀ > а₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень­шаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, вес цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Упражнения

1. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 про­иллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком.

2. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 84072 - 63894; в) 935204 - 326435;

б) 940235 - 32849; г) 653481 - 233694.

3. Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел?

4. Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование.

5. Вычислите (устно) значение выражения, использованные приемы обоснуйте:

а) 2362-(839+ 1362);

б) (1241 +576)-841;

в) (7929 + 5027 + 4843) - (2027 + 3843).

6. Докажите, что а + (b-с) =

(а + b) - с, если b ≥ с,

(а - c) + b, если а ≥ с, b ≥ с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 6420+ (3580-1736);

б) 5480 + (6290 - 3480).

7. Докажите, что а-(b -с) =

(а - b) + с, если b ≥ с, а ≥ b

(а + c) - с, если b ≥ с, b ≥ а+ с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 3720-(1742-2678),

б) 2354-(965-1246).

8. Докажите, что (а - b) - с =

(а - с) - b , если а ≥ с, а ≥ b

а – (b + c), если а ≥ b + с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) (4317 -1928) -317;

б) (5243-1354)-1646.

9. Не выполняя вычислений, найдите пары выражений, значения
которых равны:

а) 6387 - 1486 - 821; г) 6387 - 1486 + 821;

б) 6387 - (1486 - 821); д) 6387 + 1486 - 821;

в) 6387 - (1486 + 821); е) 6387 + (1486 - 821).

10. Как изменится разность, если:

а) уменьшаемое уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить на 135;

б) к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 198;

в) к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 198?

11. Решить следующие задачи арифметическим методом, решение запишите в виде числового выражения; выбор действий обоснуйте, используя соответствующую математическую теорию:

а) Первый овощной магазин получил с базы на 500 кг овощей больше, чем второй магазин. Первый магазин продал за день 1 т 300 кг овощей, второй 1 т 100 кг. На сколько меньше овощей осталось к концу дня во втором магазине?

б) В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке на 70 яблок больше, чем во втором. В каком мешке яблок будет меньше и на сколько, если переложить из первого мешка во второй 45 яблок?

в) В первой библиотеке 6844 книги, что на 959 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 2348 книг меньше, чем в первой и второй библио­теках вместе. Сколько книг в третьей библиотеке?

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многознач­ных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение много­значных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столби­ком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

х 428

263

+

856

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - »то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4∙10² + 2∙10 + 8 и тогда 428∙3 = (4∙10² + 2∙10 + 8) ∙ З; На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4∙10²) ∙ З + (2∙10)∙ З + 8 ∙ З

Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10² + 6∙10 + 24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число 24 в виде 2•10 + 4. Затем раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = х= a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

на однозначное число у:

х ∙ у = (a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀) ∙ у

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния а_к ∙ у =b _к∙∙10 + с и получаем:

х ∙ у = (b_n ∙ 10 + с_n) ·10 ⁿ + ( b _n-1∙10 + c _n-1·) ∙10 ^n-1 + … + (b₁ ∙10 + с₁ ) ·10 + (b_{0 ·}10 + с ₀ ) =

b_n ∙ 10 ⁿ + (с_n + b _n-1) ∙10 ⁿ + … + ( с₁ + b₀ ) _· 10 + с ₀

По таблице сложения заменяем суммы ск + b к-1, где 0 £ к £ n и к: = 0, 1, 2, ..., n, их значениями. Если, например, с ₀ одно­значно, то последняя цифра произведения равна с ₀. Если же с ₀ = 10 + m ₀, то последняя цифра равна m ₀, а к скобке ( с₁ + b₀ ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х ∙ у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х = а_n а _n-1 …а₁ а₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q₁ + c₀; , где c₀ – однозначное число; записываем c₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - пере­нос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10 сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Покажем это. Умножим число )

х = a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀ на 10 :

(a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀)×10

Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа

а_n а _n-1 …а₁ а₀ 0…0 , так как равно

a_n ·10 ⁿ⁺ + a _n-1 ·10 ^{n+ -1} + ... + а_{0 ·} 10 + 0 × 10 + 0 × 10 +…+ 0 × 10 + 0.

Например, 347 × 10 ³ ⁵⁴ = (3× 10 ² + 4 ×10 + 7) × 10 ³ = 3 × 10 ⁵ + 4 × 10 ⁴ + 7 × 10 ³ + 0 × 10 ² + 0 × 10 + 0 = 347000.

Заметим еще, что умножение на число у × 10 , где у - однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 . Например, 52 × 300 = 52 × (3 × 10 ² ) = (52× 3) = 156 × 10 ² = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 × 263. Представим число 263 в виде суммы 2× 10 ² + 6 ×10 + 3 и запишем произведение 428 × (2× 10 ² + 6 ×10 + 3 ). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 × (2× 10 ²) + 428 × (6 ×10 ) + 428 × 3 . Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 × 2) × 10 ² + (428 × 6) ×10 + 428 × 3 . Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х и у - многозначные числа, причем у

у = b ·10 + b ·10 + ... + b_1·10 + b_0,

В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х × у = (х · b ·10 + b ·10 + ... + b_1·10 + b₀ ) =

(х · b ) ·10 + (х · b ) ·10 + ... + (х · b₁) _· 10 + х · b₀ . Последовательно умножая число х на однозначные числа b , b , ... , b₁ , b_0, а затем на степени 10,

получаем слагаемые, сумма которых равна х · у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа х на число у.

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение х · b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записыва­ем произведение х · b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х · b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк.

5. Полученные к + 1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенны­ми этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 8 × 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Упражнения

1. На примере умножения числа 357 на 4 проиллюстрируйте теоре­тические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное.

2. На примере умножения 452 на 186 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное.

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при по­мощи умножения чисел и решите их.

а) Земля при обращении вокруг Солнца за сутки проходит пример­но 2 505 624 км. Какой путь проходит Земля за 365 дней?

б) В школу привезли 56 пачек книг, по 24 книги в каждой пачке. Сколько всего книг привезли в школу?

4. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

а) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем овса, а пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе. Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?

б) Столяр делает в день 18 рам, а его помощник на 4 рамы меньше. Сколько рам они сделают за 24 дня, если каждый день будут работать вместе?

5. Как могут рассуждать учащиеся, выполняя следующее задание:
«Ширина земельного участка прямоугольной формы равна 24 м. Это в 6 раз меньше его длины. Объясни, что обозначают выражения, записанные по условию задачи, и вычисли их значения: 24 × 6; 24× (24× 6); (24 + 24 × 6) × 6; 24 × 2; 24× 2 + 24 × 6 × 2».

6. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 984 × 27; в) 7040 × 234;

6) 8276 × 73; г) 4569 × 357.

7. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональ­ным способом значение выражения:

а) 8× 13 × 4125× 25; г) 124× 4 + 116× 4;

б) 24× (27 × 125); д) (3750 - 125) × 8;

в) (88 + 48) × 125; е) 1779× 1243 – 779× 1243.

8. Зная, что 650-34 = 22100, найдите произведение чисел, не выпол­няя умножения столбиком:

а) 650 • 36; б) 650 • 32; в) 649•34.

9. Найдите и обоснуйте приемы умножения 24 на 35 и, пользуясь ими, умножьте на 35 числа: 12, 18, 24, 32, 48, 64.

10. Вычислите рациональным способом значение выражения:

а) (420 -394) • 405 – 25 • 405;

б) 105 • 209 + (964 - 859) • 209 • 400.

11. Найдите значения выражений 13•11, 27•11, 35•11, 43•11, 54•11.
Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа меньше 10, достаточно между цифрами данного числа написать число, равное сумме его цифр?

12. Найдите значение выражений 29 • 11, 37 • 11, 47 • 11, 85 • 11, 97 • 11.
Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа больше или равна 10, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой еди­ниц написать число, равное разности между суммой его цифр и чис­лом 10?

13. На множестве выражений, приведенных ниже, задано отноше­ние «содержать в произведении цифру 0». Определяет ли оно разбие­ние этого множества на классы? Если да, то выполните его, не вычис­ляя произведений.

2602•3 1803•6 17009•4

2602•7 1803•2 17019•4

26002•8 18003•7 17019•7.

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq + r, причем 0≤ r <b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9·6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9·5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при выполнении деления уголком:

_51|9

- 45 5

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4- это значит найти неполное частное q и остаток r, что 378 = 4q + r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0≤ r <b,a неполное частное q- условию 4q ≤ 378 < 4(q +1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для г и q. Если число q двузначное, т.е. если 10 < q < 100, то тогда 40 <4 q< 400 и, следовательно,

40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4·90 = 360, а 4·100= 400, и 360 < 378 < 400, то неполное частное заключено числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q₀ . Но тогда должны выполняться неравенства:

4·(90 + q₀) ≤ 378 < 4·(90q + q₀ + 1), откуда 360 + 4q₀ ≤ 378 < 360 + 4(q₀ + 1) и 4q₉ ≤18 < 4(q„ + 1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀ = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94; Остаток находится вычита­нием: 378-4·94 = 2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное ча­стное 94 и остаток 2: 378 = 4·94 + 2:

Описанный процесс является основой деления уголком:

_378|4

36 94

18

16

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что 4316 = 52q + r, 0 ≤ r <52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству

52q≤ 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное за­ключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q₀. Но тогда должны выполняться неравенства:

52·(80 + q₀) ≤ 4316 < 52·(80 + q₀ + 1),

4160 + 52q_{0 ≤} 4316 < 4160 + 52·(q 0+ 1),

52q_{0 ≤}156<52·(q₀+1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее по­следнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52·3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

_ 4316 |52

416 83

156

Обобщением различных случаев деления целого неотрица­тельного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = b, то частное q=1, остаток r= 0.

2.Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов a и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в чис­ле b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

a) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором находим частное q₁, чисел d₁, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q₁, и записываем произведение под числом a так, чтобы младший разряд числа bq₁, был написан под ним разрядом выделенного числа d₁.

в) Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁ = d₁ - bq₁.

г) Записываем разность r₁ под числом bq_1, приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d₂ с числом b.

д) Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q₂ записываем после q ₁ .

е) Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁ такое же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d₃<b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d₃.

Упражнения

1.Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел:

а) 486 и 7; в) 5792 и 27;

б) 7243 и 238; г) 43126 и 543.

2. На примере деления числа 867 на 3 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма деления трехзначного числа однозначное.

3.Обоснуйте процесс деления уголком а на b, если

а) а = 4066, b = 38; б) а = 4816, b = 112.

4.Как, не вычисляя, можно установить, что деление вы­полнено неправильно, если:

а) 51054:127 = 42;

б)405945:135 = 307?

5.Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки > или < , чтобы получились верные неравенства.

а) 1834:7...783:9;

б) 8554:91 ...7488:72;

в) 137532:146... 253242:198;

г) 7248:6... 758547:801.

6. Объясните, почему при делении р на k в частном полу­чаются нули, если:

а) p = 753, k= 5; г) р = 613, k =3;

б) p =1560, k=6 д) р =4086, k =2;

в) p =84800, k=4; е) p = 4012, k=4.

7.Не производя деления, разбейте данное выражение на классы при помощи «иметь в частном одно и то же число цифр»:

а) 20 700:300; г) 20300: 700;

б) 5460:60; д) 14640: 80;

в) 30720: 40; е) 1500: 300.

8. Объясните, почему следующие задачи решаются при по­мощи деления чисел, и решите их.

а) В 125 коробок разложили поровну 3000 карандашей.
Сколько карандашей в каждой коробке?

б) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки по 300 г в

каждой. Сколько коробок конфет получилось?

9.Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение.

а) Туристы совершили экскурсию по реке на катере, проплыв всего 66 км. Сначала 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а остальной путь - со скоростью 15 км/ч. Сколько всего часов находились в пути туристы?

б) Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом. Определите массу сложенного в ящик печенья.

10. Найдите значение первого выражения, а затем исполь-
зуйте его при вычислении значения второго.

а) 45120:(376 ·12), б) 241·(1264:8),
45120: (376·3); 241 ·(1264:4).

11. Найдите двумя способами значение выражения.
а) (297+ 405+ 567): 27; в) 56 ·(378:14);
б) (240·23):48; г) 15120:(14·5-18).

12. Найдите значение выражения.

а) 8919:9 + 114240:21;

б) 1 190-35360:34 + 271;

в) 8631 -(99+ 44352:63);

г) 48600 ·(5045 - 2040):243 - (86043:43 + 504) ·200;

д) 4 880 · (546 + 534): 122 - 6 390 · (8 004 - 6924) - 213.