Лекция 42. Системы счисления, отличные от десятичной

План:

1. Запись числа в р-ичной системе счисления

2. Арифметические действия в позиционных системах, отличных от десятичной.

3. Двоичная система счисления

86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р≥2. Система счисления с основанием р называется р -ичной. Так, если р = 2, то - двоичной, если р = 8 - восьмеричной, если р = 10- десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, ..., р - 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятиричной - при помощи символов 0,1,2,3, 4.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде:

x= a _n p ⁿ + a _{n-1 p} ^n-1 +…+ a ₁ p+ a₀ (1) , где коэффициенты a _n, a _{n-1 ,…,} a _1, a₀ принимают значения 0, 1, 2, …, p-1 и a _n, ≠ 0.

Теорема. Пусть р ≥ 2 - заданное натуральное число. Тогда натуральное число х представимо, и притом един­ственным образом в виде (1).

Доказательство этой теоремы, аналогично доказательству теоремы о существовании и единственности записи числа в десятичной системе счисления.

Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко:

_{_________________}

х ₌ a_n a_n-1…a₁ a_0. Например, еслир=3, то число x = 2·3³ + 0·3² +1·3 +2 можно записать в виде 2012₃, причем читать следует так: «два, ноль, один, два в троичной системе счисления».

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке 124, в троичной и пятиричной системах счисления.

Решение. В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде

а_п · 3ⁿ+ а_п-1 · 3^n-1, + ... + а₁ ·3 + а₀ , где а_п, а_п-1,..., а₁ а₀ принимают значения 0, 1, 2 и а_{п ¹} 0.Однозначные числа в этой системе - 0, 1, 2, а число 3 - основание системы счисления - записывается как 10.

В пятеричной системе счисления для записи чисел исполь­зуются цифры 0,1,2,3,4, а любое число представляется в виде a_n ·5ⁿ + а_n-1·5^{n -1} + ... +а₁-5 + а₀, где a_n, а_n-1 ,…, а_1, а₀ прини­мают значения 0,1, 2,3,4 и a_n ¹0.

Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, 3,4, а число 5 - основание системы счисления - записывается как 10 .

При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисун­ке 124 мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 14₅.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ¹10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 2101з<2102з, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в пер­вом числе меньше числа единиц во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р ¹ 10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чи­сел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней – это 0,1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 11₃, так как 4= 1·3+ 1 = 11₃.

Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троич­ной системе счисления можно представить в таком виде:

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления.

Например, 1221₃ + 122₃ = 2120₃, так как

⁺ 122

Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание:

2110₃ - 212₃ = 1121₃.

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 122₃ ·22₃:

× 22

₊ 1021

1021

Таким образом, 122₃ · 22₃ = 12001 _3.

Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление уголком.

Разделим, например, число 10011₃ на 12₃:

_10011|12

12 122

_ 111

101

_ 101

101

Значит, 10011₃ : 12₃ = 122₃.