Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел ис­пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З ×10³ + 7 ×10² + 4×10 + 5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, где коэффициенты a_n, a _{n-1, ….} , а_1, а_0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ± 0.

Сумму a_n ·10ⁿ + a_n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а₀ в краткой форме принято записывать так:

а_па_n-1 ...а₁а₀.

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существо­вание и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, где коэффициенты a_n, a _{n-1, ….} , а_1, а_0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ± 0, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10², 10³,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10 ⁿ < х < 10 ^{n +1}, что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10 ⁿ . Если частное этих чисел обо­значить через a_{n ,}а остаток через х_п, то х = a_n ·10ⁿ + х_п , где а_п < 10 и х_п < 10 ⁿ. Далее, разделив х_п на 10^n-1 , получим: х_п = a_n-1 ·10^n-1 + х_n-1 откуда х= a_n ·10ⁿ + a_n-1 ·10^n-1 + х_n-1

где a_n-1 < 10 и х_n-1 < 10^n-1. Про­должая деление, дойдем до равенства х₂ = а_1·10 + х_1. Положив х₁ = а₀, будем иметь х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, т.е. число х бу­дет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятич­ной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определя­ется условием 10 ⁿ < х < 10 ^{n +1}. После того как п определено, коэффици­ент а_п находят из условия: a_n ·10ⁿ < х < (а_п + 1) ·10ⁿ. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a _{n-1, ….} , а_1, а₀.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

у = b_n ·10ⁿ + b _n-1 ·10^n-1 + ... +b_1·10 + b_0,

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п < т;

б)п = т,но а_п < b_п

в)п = т, а_п = b _п... ,а_к = b _к, но а _к-1., < b _к-1/

Доказательство не приводится.

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в чис­ле х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, то числа 1, 10, 10², ..., 10 ⁿ называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следую­щего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют вто­рой класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллио­нов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Вы­деление классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это постигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия после­дующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде

1∙10 + а₀ образуются из соединения первых десяти названий и не­сколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2∙10 + а₀ ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: два­дцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пято­го, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. На­звания этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего де­сятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся назва­ниями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по едини­це (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион.Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард,или биллион.В вычис­лениях миллион принято записывать в виде 10⁶, миллиард - 10⁹. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10¹², квадриллион- 10¹⁵ и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, де­вяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в началь­ном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

Упражнения

1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 4725; 6)3370; в) 10255.

2. Какие числа представлены следующими суммами:

а) 6∙10³ + 5∙10 + 8; б) 7∙10³ + 1 ∙ 10;

в)8∙10⁴+ 10³+3∙10 + 1; г) 10⁵ + 10²?

3. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.

4. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?

5. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше преды­дущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

6. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырех­значных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6гак, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к оп­ределению, все суммы, которые получаются при сложении однознач­ных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сло­жения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложе­ние столбиком. Например,

+ 341

7238

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теорети­ческие положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7238 = (3∙10² + 4∙10 + 1) + (7∙10³ + 2∙10² + 3∙10 + 8). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруп­пируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциа­тивности разрешает записать выражение без скобок: 3∙10² + 4∙10 + 1 + 7∙10³ + 2∙10² + 3∙10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами сла­гаемые: 7∙10³ + 3∙10² + 2∙10² + 4∙10 + 3∙10 + 1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7∙10³ + (3∙10² + 2∙10² ) + (4∙10 + 3∙10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10², а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7∙10³ + 5∙10² + 7∙10 + 9.

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению одно­значных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел ле­жат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответст­вующими коэффициентами: (7∙10² + 4∙10 + 8) + (4∙10² + 3∙10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ∙10² + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффици­енты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1∙10 + 4:

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем .Полученное выражение к виду: (7 + 4) ∙10² + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при 1 сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1∙10+ 1, получаем: (1 ∙ 10 + 1)10² + 8∙10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следователь­но. 748+436= 1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:

х= a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

у = b_n ·10ⁿ + b _n-1 ·10^n-1 + ... +b_1·10 + b_0,

х + у =(a_{n +} b_n ) ·10ⁿ + ( a _n-1 + b _n-1 ) ·10^n-1 + ... + ( а₁+b₁ ) _·10 + ( а₀ + b₀)

- преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности

сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения.

Лишь в случае, когда все суммы aк ₊ bк не превосходят 9, операцию сложения можно
считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого а_к + b_к > 10. Если а_к + b_к > 10, то из того, что 0 <а_к < 9 и 0 < b_к < 9, следует неравенство 0 < а_к + b_к < 18 и поэтому а_к + b_к можно представить и виде а_к + b_к = 10 + с_к, где 0 < с_к < 9. Но тогда (а_к + b_к) ·10^к = (10 + с_к) ·10 ^к = 10 ^{к +1} + с_к ·10 и т.д.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных и десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше деся­ти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разпряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а_о + Ь_о~ 1 • 10 + с₀, где с₀ - однозначное число; записывают с₍₎ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого сла­гаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры стар­ших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Упражнения

1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в началь­ной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения:
231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?

3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:

а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768;

в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).

4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.

а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:

2459+ 121 53075 + 2306

2458+ 122 53076 + 2305

2457+123 53006 + 2375

2456+ 124 53306 + 2075

б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания:

4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331