Лекция 43. Системы счисления, отличные от десятичной

План:

4. Переход от записи в одной системе счисления к записи в другой.

3. Основные выводы

Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р ≥ 2. Так, число кле­ток в фигуре на рисунке 124 в десятичной системе счисления записывается знаком 9, в троичной - 100, в пятеричной -14.

Чтобы из одной записи получить другую, достаточно нау­читься переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной, и наоборот.

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основани­ем р, т.е.

х = а_прⁿ + а_п-1 ·р^n-1+… + a_t ·p + а₀. Найдем запись этого числа в десятичной системе счисления. Так как в записи числа х числа а_п, а_{п-1 ,…,} a_t , а₀ и р представлены в десятичной системе счисления, то выполнив над ними действия по прави­лам, принятым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например, десятичную запись числа 457₈. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4·8² + 5·8 + 7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 457₈ = 303₁₀.

Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Най­дем его запись в системе счисления с основанием р.

Число х = а_n·рⁿ + а_п-1·р^n-1 +... + а₁р + а₀ можно записать в виде

X = р(a_n ·p^n-1 + a _n-1 p ^n-2 +…+ a₁₎ + a_0.

Так как 0≤ а < р, то из последней записи числа х видно, что а₀ - остаток, полу­чаемый при делении числа х на р, а а_n·р^n-1 + а_п-1 ·р ^n-2 +... + а₁ -неполное частное. Точно также можно найти, что а₁- оста­ток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в р-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, получен­ный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р -ичной записи числа х; продол­жая деление, найдем все цифры р -ичной записи числа х.

Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Раз­делим 2436 на 8: 2436 = 304·8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38· 8 + 0 и тогда 2436 = (38· 8 + 0) · 8 + 4или 2436 = 38· 8² + 0 · 8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4· 8 + 6 и тогда 2436 = (4·8 + 6)·8² + 0·8 + 4 или 2436 = 4·8³ + 6· 8² + 0·8 + 4, т.е. 2436 = 4604 ₈. Описанный процесс можно "представить и в таком виде:

_2436|8

24 _ 304|8

_36 24 _38|8

32 _64 32 4

4 646

Упражнения

1.Запишите число в виде суммы степеней основания

с соответствующими коэффициентами:

а) 3024₅; б) 7610₈; в) 11101_2.

2. Сосчитайте число треугольников на рисунке 125 в пятеричной и восьмеричной системе счисления.

Рис. 125

3. Назовите наибольшее и наименьшее двузначные числа в системе счисления с основанием: 10,8,7, 5, 2.

4. Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 347; 8025;

52; 1110; 223?

5. Для числа х назовите предшествующее и непосредственно следующее за ним число, если:

а) х = 34₅; б) х = 50₇; в) х =12₃.

6. Выполните действия над числами, записанными в восьмеричной системе счисления.

а) 4312+ 2767; в) 72·27;

б)6714-3505; г) 5250:76.
7. Запишите в десятичной системе числа: 12₃, 144₅, 201₉, 1011₂.
8. Запишите в порядке возрастания числа.

a) 11₇,11₅,11₂,11₉;

б) 327₈, 1101₂,513₆,83₉ , 20 1 2₃.

9. Запишите в двоичной системе числа, запись которых дана в десятичной системе: 27, 125, 306.

10. Что меньше: 26543₈ - 325₇ или 26543₇ - 325₈?

87. Основные выводы § 17

При изучении материала данного параграфа мы выяснили, что десятичная запись натурального числа - это его представление в виде

х= a_n ·10ⁿ +a _n-1 ·10^n-1 +... +а_1·10+а₀= a_n a _n-1…. а₁ а_0, где a_n a _n-1…. а₁ а₀ принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_п ± 0.

В таком виде можно записать любое натуральное число и эта запись единственная.

Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, по определенным правилам (алгоритмам), над ними действия. Мы рассмотрели теоретические основы этих алгоритмов и сформулировали их в общем виде.

Натуральные числа можно записывать не только в деся­тичной системе счисления, но и вообще в позиционных систе­мах с основанием р ≥ 2.

При этом записью числа х считается его представление в виде

х = a_n ·pⁿ +a _n-1 ·p^n-1 +... +а_1·p+а₀= a_n a _n-1…. а₁ а_0, где a_n a _n-1…. а₁ а₀ принимают значения 0,1,2,…, p-1 и a_n ± 0.

Действия над числами в позиционных системах счисления, отличных от десятичной, выполняются по правилам, анало­гичным принятым в десятичной системе счисления.