Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

В этом случае число b называют делителем числаа, а число а - кратным числаb.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q =3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8. В том случае, когда а делится на b, пишут: а ^:. b. Эту запись »« читают и так: «а кратно b». Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 -делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

а ^:. b, то b < а.

Доказательство. Так как а^:. b, то существует такое q Є N,что a = bq u, значит, a-b = bq – b= b·(q -1). Поскольку q Є N,тоq≥ 1. Тогда b· (q -1) ≥ 0 и, следовательно,b ≤ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое нату­ральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …, и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а ^:_. а.

Теорема3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а ^:. b и а ≠ b,

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞. b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

Доказательство. Так как а^:. b, то существует такое нату­ральное число q, что a = bq, а так как b⁞ с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: a = bq = (cp)q = c(pq)- Число pq - натуральное. Значит, по определе­нию отношения делимости,

а⁞ с.

Теорема5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а₁, а₂, ...,а_п делится на натуральное число b, то и их сумма a₁ + а₂ + ... + а_n делится на это число.

Доказательство. Так как а₁ ⁞ b, то существует такое на­туральное число q₁, что а₁ =bq₁. Так как а₂ ⁞ b, то существует такое натуральное число q₂, что а₂ = bq₂. Продолжая рассуж­дения, получим, что если а_n ^:. b, то существует такое натуральное число q_n, что а_п = bq_n. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а₁ + а₂ + ... +а_п в сумму вида bq₁ + bq₂ + ... + bq_n. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q₁ + q₂ + ... + q_n обозначим буквой q. Тогда a₁ + a₂ + ... + a_n = b(q₁ + q₂+... + q_n) = bq, т.е. сумма а₁ + а₂ +… + а_п оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а₁ + а₂ +… + а_п делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а₁ и а₂ делятся на b и а₁≥ а₂ , то их разность а₁ - а₂ делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Доказательство. Так как а^:. b, то существует такое натуральное число q, что a= bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах=(bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx)и, значит, ax = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ax ^:. b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Доказательство. Пусть s = а₁+ а_г + ... + а_п +" с и известно, что а₁ ^:. B, а₂ ^:. B,

___ ___

а₃ ^:. b, … а_n ^:. b, но с ^:. b. Докажем, что тогда s ^:. b

Предположим противное, т.е. Пусть s ^:. b. Преобразуем сумму s к виду с = s— (а₁ + а₂ +… + а_n). Так как s ^:. b по предположению, (а₁ + а₂ +… + а_n)^:. b согласно признаку делимости суммы, то по теореме делимости разности с ^:.b

____

Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, s ^:. b.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так 34^:.2,376^:.2,124^:.2, но 125 не делится на 2.

Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10.Если произведение ас делится на произведе­ние bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Доказательство. Так как ас делится на bc, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а = bq, т.е. а^:.b.

Упражнения

1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6,. 12, 18, 24}. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 -делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

4. Запишите множество делителей числа.

а) 24; 6)13; в) 1.

5.На множестве X ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7.Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

8. Верно ли, что:

а) а ^:. ти b ^:. n =>ab^:.mn

___ __ ___

б) а ^:.п и b^:.n => ab^:.n;

в) ab^:.n => а^:.п или b^:.n.