Узагальнене перетворення Фур’є. Представлення білого шуму через ортогональні сигнали. Співвідношення сигнал- шум у цифровій системі передачі даних

Співвідношення, які включають визначення ортогонального базису ((І)-(IV)) називають узагальненим перетворенням Фур’є. При звичайному перетворенні Фур’є, функції включають тільки синусоїдальні та косинусоїдальні функціонали. В узагальненій формі вони можуть бути довільними. Головне, щоб вони задовільняли першій умові ортогональності. Тоді довільну функцію, що описує інформаційний сигнал S можна представити з допомогою лінійної комбінації базисних ортогональних сигналів. Тоді для детектування інформаційних сигналів можна використовувати співвідношення для прямокутного ефлідового простору. Якщо інформаційний сигнал описується не ортогональним набором, то при детектуванні вводиться поняття зважуваного значення.

Сигнали адитивного білого шуму, їх ще записують AWGN, як і довільний інший сигнал можна записати у вигляді довільної комбінації ортогоналів сигналів. Для зручності розгляду його можна розділити на дві складові: .

- вона описує проекції компонент шуму на всі координати ψ_j.

- описує шумові сигнали поза використовуваним ортогональним базисом. можна розглядати як ефективне значення шуму, що відсіюється детектуючим пристроєм, тоді як - це та складова, яка впливає на процес детектування. Тоді шумовий сигнал можна записати у вигляді ряду: .

Таким чином ефективне значення шумового сигналу може бути описане вектором . Можна записати: , при чому всі складові- лінійно незалежні.

Основним критерієм якості цифрової системи зв’язку, як і для аналогових застосувань, є співвідношення середньої потужності сигналу відносно середньої потужності шуму- (SNR- параметр). В цифрових системах частіше застосовують нормоване значення SNR- параметра у вигляді відношення , E_b- енергія біта. Її можна описати як потужність сигналу, помножена на час його передачі: . Під N₀ розуміють спектральну густину потужності шуму. Її можна визначити як потужність N₀ = N/W. Оскільки час передачі біта інформації і швидкість передачі бітів- обернено взаємозв’язані, то величину T_b можна замінити на 1/R_b: .

Аналогічно, враховуючи, що швидкість передачі біта може бути виражена через узагальнену швидкість R, можна одержати значення: .