Векторне представлення сигналів і шумів. Ортогональні сигнали. Нормоване значення енергії цифрового сигналу

Як високочастотні, так і шумові сигнали можна представити з допомогою певного векторного базису. N- мірним ортогональним простором називається набір N лінійно незалежних функцій {ψ_j(t)}, які є базисними векторами цього простору. Довільну функцію можна виразити з допомогою лінійних комбінацій інших функцій, що задовільняють умові:

(І) (ІІ)

При всіх k_j, які не дорівнюють нулю, базис утвореної функції ψ_j називають ортогональним. Якщо k приймає в усіх випадках значення 1, то такий базис називають ортонормованим. Це означає, що кожна з базисних функцій має бути лінійно незалежною від інших. Нормована енергія, яка виражена через квадрат амплітуди струму або напруги, що нормовані на опір 1Ом, може бути записана у вигляді інтегралу: . Вона рівна кількості джоулів, що переноситься сигналом за час Т. Її можна представити у вигляді вектора S_m в заданому базисі. Амплітудне значення цього вектора визначається через амплітуди відповідних базисних функцій. Можна показати, що для довільного кінцевого набору сигналів {S_i(t)} (i=1…M), де кожен елемент реалізований в часі на проміжку Т, кожен елемент можна виразити як лінійну комбінацію:

Або в більш компактній формі:

(ІІІ)

Коефіцієнти . (IV)

a_ij визначають як коефіцієнти біля базисних функцій в заданому розкладі. Базисні функції вибираються з точки зору зручності запису інформаційних сигналів S_i. Шумові сигнали є випадковими величинами, які задають певне відхилення від реального інформативного значення, тому у векторній формі відображення вони створюють певну сукупність значень, які певним чином розсіяні навколо основного інформаційного сигналу.

Для відображення сигналів у векторній формі також застосовують вектори S_j та S_k, які називають сигналами- прототипами або опорними сигналами, що належать набору М. Приймач визначає апріорі положення кожного з векторів- прототипів в М- мірному просторі, тоді сигнал шуму можна зобразити вектором розсіювання , тоді вектори- прототипи будуть та . В приймач надходить певний векторний сигнал , який можна виразити певною лінійною комбінацією базисних функцій. Завдання детектора полягає у визначенні найбільшої правдоподібності прийнятого сигналу до певного сигналу- прототипу. В геометричному просторі це зводиться до визначення найближчої відстані між прийнятим сигналом і сигналом- прототипом. Нормоване значення енергії для S_i сигналу можна виразити через ортогональні компоненти:

Останній вираз, що зв’язує енергетичне значення сигналу S_i з сумою квадратів коефіцієнтів ортогонального розкладу називають частковим випадком т. Персеваля.

В ортонормованому базисі результуюче значення визначається виключно коефіцієнтом розкладу: .