Обоснование асимптотической и экспоненциальной устойчивости линейных однородных стационарных систем (ЛОСС) с помощью квадратичных форм

Как всегда, отправным результатом второго метода Ляпунова является случай, рассмотренный самим А.М. Ляпуновым в его знаменитом труде [11], а именно, рассмотрим n-мерную линейную однородную стационарную систему (ЛОСС) дифференциальных уравнений вида

(2.3.1)

где А – постоянная вещественная -мерная матрица. Очевидно, что система (2.3.1) допускает тривиальное решение и, таким образом, является частным случаем общей нелинейной нестационарной системы (2.1.1.)÷(2.1.3), рассматриваемой во втором методе Ляпунова.

Из теории устойчивости систем линейных стационарных дифференциальных уравнений [1] известно, что тривиальное решение ЛОСС асимптотически устойчиво по Ляпунову при тогда и только тогда, когда все собственные числа, или, что одно и то же, все корни характеристического многочлена матрицы А вида

(2.3.2)

имеют все (строго) отрицательные вещественные части, т.е.

(2.3.3.)

а так как областью определения ЛОСС является все полупространство , то имеет место асимптотическая устойчивость в целом тривиального решения ЛОСС, а в силу линейности системы (2.3.1), и каждое ее решение будет асимптотически устойчиво в целом [1].

Очевидно, что в силу второй теоремы Ляпунова (об асимптотической устойчивости) (п. 2.1), как следствие, вытекает следующая теорема.

Теорема об асимптотической устойчивости решений ЛОСС.Если для линейной однородной стационарной системы вида (2.3.1) существует функция Ляпунова , удовлетворяющая условиям второй теоремы Ляпунова, то каждое решение этой системы асимптотически устойчиво, а если удовлетворяет, вдобавок, условиям теоремы Барбашина-Красовского, т.е. допускает бесконечный предел в целом (см. п.2.2), то можно говорить об асимптотической устойчивости в целом.■

А.М. Ляпунов доказал, что теорема об асимптотической устойчивости ЛОСС обратима, и указал способ прямого построения положительно определенной функции, фигурирующей в теореме, названным впоследствии способом построения функции Ляпунова по заданной ее производной, вычисленной в силу системы [11,3].

Теорема о необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости ЛОСС (А.М. Ляпунов, 1892). Пусть дана ЛОСС вида (2.3.1). Для асимптотической устойчивости в целом каждого (в том числе, тривиального) решения ЛОСС, необходимо и достаточно существования не зависящей от времени функции (и допускающей ББНП) Ляпунова , положительно определенной и такой, что ее полная производная, вычисленная в силу ЛОСС, есть независящая от времени отрицательно определенная функция Ляпунова. ■

Доказательство. Зададим функцию Ляпунова в виде вещественной положительно определенной квадратичной формы

(2.3.4)

Замечание. Квадратичная форма (2.3.4) как функция Ляпунова допускает бесконечный предел в целом ■.

Вычислим полную производную в силу системы (2.3.1):

(2.3.5)

Заметим, что в (2.3.5) -матрица

симметрична по построению и называется симметризованной матрицей матричного произведения .

Важным приемом синтеза систем с заданными свойствами устойчивости решений является априорное задание вида полной производной функции Ляпунова, вычисленной в силу системы. В данном случае потребуем, чтобы полная производная имела вид отрицательно определенной квадратичной формы

(2.3.6)

Подставляя (2.3.6) в равенство (2.3.5), приходим к матричному уравнению вида

, (2.3.7)

в котором С – заданная положительно определенная симметричная матрица, В – неизвестная матрица.

Уравнение (2.3.7) называется в математической теории устойчивости матричным уравнением Ляпунова, разрешимость которого исследована А.М. Ляпуновым.

Лемма о разрешимости матричного уравнения Ляпунова (А.М. Ляпунов, 1892)

1. Матричное уравнение Ляпунова (2.3.7) однозначно разрешимо относительно неизвестной матрицы В тогда и только тогда, когда А –гурвицева, то есть характеристический многочлен матрицы А вида

имеет все корни с отрицательными вещественными частями, т.е.

2. Если – отрицательно определённая матрица , то положительно определённая .■

(Без доказательства.)

Утверждение леммы завершает доказательство теоремы. Мы построили (допускающую бесконечный предел в целом) функцию Ляпунова в виде положительно определенной квадратичной формы

удовлетворяющей условиям теоремы, причем матрица В однозначно разрешима из уравнения Ляпунова (2.3.7) по любой наперед заданной симметричной отрицательно определенной матрице тогда и только тогда, когда каждое решение ЛОСС (2.3.1) асимптотически устойчиво в целом. □ (Конец доказательства).

Следствие. Из только что полученного результата о построении функции Ляпунова в виде квадратичной формы по заданной производной, легко вывести следствие: для линейной однородной стационарной системы ЛОСС (2.3.1) асимптотическая устойчивость тривиального решения (а значит, и всех решений) совпадает с экспоненциальной устойчивостью ее тривиального решения (а значит, и всех решений).■

Замечание. Этот результат известен из алгебраической теории линейных однородных стационарных систем и доказывается из анализа формулы Коши для общего решения ЛОСС, записанного с помощью матрицы Коши в виде