Устойчивость систем по части переменных. Основные определения и теоремы

Пусть дана приведенная по Ляпунову система (см. п. 1.3)

(2.5.1)

с областью определения правых частей вида

(2.5.2)

причем функция удовлетворяет следующим свойствам в области (2.1.2):

а) f- непрерывна по t и x;

б) f- непрерывно дифференцируема по xи

(вследствие непрерывности по известной теореме

Вейерштрасса)все частные производные ,

ограничены на любом компактном подмножестве (2.5.3)

из области (2.1.2);

в) , т.е. система (2.5.1) допускает

тривиальное решение

Будем рассматривать часть переменных вектора состояния системы .

Сначала (в определениях 1, 2) допустим, что условие (2.5.3,в) отсутствует.

Определение 1. Фиксированное решение системы (2.5.1)÷(2.5.3) называется устойчивым по Ляпунову относительно части переменных , если и такое, что для всех решений , удовлетворяющих неравенству

выполняются следующие требования:

(а) все решения , включая фиксированное решение — бесконечно продолжимы вправо;

(б) выполняется неравенство:

где

?

Определение 2. Фиксированное решение системы (2.5.1)÷(2.5.3) называется асимптотически устойчивыми по части переменных , если:

(а) оно устойчиво по этой части переменных у (в смысле определения 1);

(б) существует некоторое положительное число такое, что для всех решений , удовлетворяющих неравенству для части переменных выполняется предельное соотношение:

,

где – окрестность называется областью притяжения решения по части переменных y.?

Определение 3. Функция Ляпунова (для системы (2.5.1)÷(2.5.3)) (здесь и далее уже полагаем, что система (2.5.1)÷(2.5.3) допускает тривиальное решение) называется положительной определенной функцией Ляпунова по части переменных y, если:

(а) она является знакопостоянной положительной по всем переменным x, т. е. (в некоторой области );

(б) существует положительная определенная не зависящая от времени функция Ляпунова по части переменных y, такая, что

?

Определение 4. Говорят, что функция Ляпунова вида , положительно определенная по части переменных, допускает БМВП при по части переменных y, если существует не зависящая от времени функция Ляпунова по части переменных, положительно определенная и такая что:

(сильный БМВП).?

В 1970-72 гг. В. В. Румянцев доказал две модификации первой и второй теорем Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных.

Теорема об устойчивости по части переменных. (В. В. Румянцев, 1970-72 г.г.)

Тривиальное решение системы (2.5.1)÷(2.5.3) является устойчивым по части переменных , , если найдется (существует) функция Ляпунова , обладающая следующими свойствами:

1) – положительно определенная по части переменных у(в смысле определения 3);

2) является знакопостоянной отрицательной функцией Ляпунова (по всем переменным х).?

Доказывается аналогично доказательству первой теоремы Ляпунова (об устойчивости) (без доказательства).

Теорема об асимптотической устойчивости по части переменных. (В. В. Румянцев, 1970-72 г.г.)

Тривиальное решение системы (2.5.1)÷(2.5.3) является асимптотически устойчивым по части переменных у, если существует функции Ляпунова , обладающая следующими свойствами:

1) – положительно определенная по части переменных у (в смысле определения 3);

2) – допускает БМВП по части переменных (в смысле определения 4), т.е. сильный БМВП;

3) , где – положительно определенная не зависящая от времени функция Ляпунова по части переменных у.?

Сравнить со второй теоремой Ляпунова (об асимптотической устойчивости) (без доказательства).

Замечания.

1. Можно сформулировать определение экспоненциальной устойчивости фиксированного решения нелинейной нестационарной системы (5.1.1)÷(5.1.3) (не обязательно допускающей тривиальное решение по всем переменным х) по части переменных , опираясь, как на аналоги, на данные выше определения экспоненциальной устойчивости (по всем переменным ) и асимптотической устойчивости по части переменных (В. В. Румянцев) (самостоятельно).

2. Можно сформулировать соответствующую теорему, аналогичную теореме Н. Н. Красовского (1959 г.) о необходимых и достаточных условиях существования функции Ляпунова, удовлетворяющей оценкам, характерным для квадратичных форм, (по аналогии с теоремами В. В. Румянцева об устойчивости и асимптотической устойчивости фиксированного решения по части переменных (самостоятельно). ?

3. Можно сформулировать аналогичные определения и теоремы о диссипативности систем по части переменных (самостоятельно). 

В.В. Путов

Некоторые сведения из математической теории устойчивости нелинейных систем, (систем нелинейных дифференциальных уравнений), (конспект лекций).

Список литературы

1. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости: Учебное пособие (Второе издание). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с..

3. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

4. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 248 с.

5. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. М.: Мир, 1988. 300 с.

6. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 320 с.

7.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 216 с.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

9. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

10. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

11. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. [Докторская диссертация, 1892].

12. Путов В. В. Адаптивное управление динамическими объектами: беспоисковые системы с эталонными моделями: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2001. 92 с.

13. Путов В. В. Методы построения адаптивных систем управления нелинейными нестационарными динамическими объектами с функционально-параметрической неопределенностью: Дисс. д-ра техн. наук / СПбГЭТУ. СПб., 1993. 590 с.

14. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. - М.: Наука, 1990.- 296 с.

15. .В. Путов, В.Н. Шелудько Адаптивные и модальные системы управления многомассовыми нелинейными упругими механическими объектами. СПб.: ООО «Техномедиа» / изд-во «Элмор», 2007. 244 с.