Механический и геометрический смысл производной

Обращаясь к рассмотренным ранее задачам, приводящим к понятию производной, можно сформулировать следующие утверждения.

1) Скорость прямолинейного движения точки есть производная пути по времени : . Это механический смысл производной. Поэтому производную любой функции называют скоростью изменения этой функции.

2) Угловой коэффициент невертикальной касательной к непрерывной кривой в точке с абсциссой есть производная , т.е. . Это геометрический смысл производной.

Известно, что уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид: . С учетом этой формулы уравнение касательной к кривой в точке принимает вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.

Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением , откуда . Следовательно, если , то уравнение нормали к кривой в точке можно записать в виде

.

Пример. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Так как , то угловой коэффициент касательной в указанной точке . Следовательно, уравнение касательной

.

Уравнение нормали .