Общие правила дифференцирования

Производные любых функций можно найти непосредственно по определению, как показано в п.4.4. Однако каждый раз делать это весьма затруднительно, поэтому для дифференцирования произвольных функций можно воспользоваться таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.

Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке , причем

Для примера выведем правило дифференцирования произведения двух функций. Пусть . Придадим аргументу произвольное приращение , тогда в результате этого функции получат соответственно приращения :

Таким образом, . При выводе использовано условие дифференцируемости, а, следовательно, и непрерывности функции , в силу чего . В частности, из доказанной формулы вытекает правило:

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Таблица производных элементарных функций

Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций:

Приведем примеры нахождения производных.

1) .

2)