Коефіцієнт запасу та ймовірності досягнення граничного стану

Чинні норми проектування мостів мають детерміністичний характер. В розрахунках засобом недопущення граничного стану є коефіцієнт надійності. Його природу нескладно показати аналітично, якщо вважати, що розподіл опору R та навантаження Q є нормальними і між ними відсутній кореляційний зв'язок [19].

Згідно з роботою А.Р.Ржаніцина, введено узагальнений коефіцієнт запасу – математичне сподівання

, (5.1)

та розрахунковий коефіцієнт

. (5.2)

Для кожного із розподілів може бути встановлений зв'язок між коефіцієнтами – показниками безпеки γ₀ і γ_k та ймовірністю досягнення граничного стану. Так для випадку, коли R і Q описуються нормальним розподілом, отримано:

. (5.3)

Чисельник і знаменник цієї залежності розділино на μ_k

. (5.4)

Залежність між узагальненим коефіцієнтом запасу γ₀ та характеристикою безпеки β має вигляд

. (5.5)

Після внесення в (5.2) статистично модельовані значення узагальненого опору R_k та Q_k, отримано

. (5.6)

Тут, як і раніше, V_Rі V_Q - коефіцієнти варіації випадкових змінних R та Q відповідно; k_Rі k_Q - їх коефіцієнти забезпеченості.

Таким чином, співвідношеннями (5.3, 5.4) встановлюється залежність між коефіцієнтами запасу γ₀і γ_k, ймовірнісними характеристиками узагальнених опору та навантаження і ймовірністю досягнення граничного стану.

Для практичних застосувань є зручною формула, що витікає із співвідношення (5.3), якою зв’язується характеристика безпеки з математичним сподіванням узагальненого коефіцієнта запасу та коефіцієнтами варіації опору та навантаження

. (5.7)

5.3 Проектування елементів мостів за критерієм надійності

Ймовірнісні розрахунки за критерієм надійності мають за мету пошук оптимального проекту при заданому рівні безпеки. За критерій приймається характеристика безпеки β.

Ймовірнісні розрахунки за критерієм надійності мають виконуватись так, щоби фундаментальна нерівність методу граничних станів, якій має задовольняти елемент, що проектується, зоставалась непорушною:

, (5.8)

де R(X_R)– функція опору елемента;

Q(X_Q)– функція зовнішніх навантажень елемента;

X_R – базові змінні, якими виражається несуча здатність елемента;

X_Q - базові змінні, якими виражається зовнішнє навантаження елемента.

Стверджується, що базові змінні, якими виражається несуча здатність і зовнішнє навантаження елемента, мають нормальний чи логнормальний розподіл.

Базові змінні X_і в (5.8) визначаються через параметри закону розподілу, прийнятого для змінної:

, (5.9)

де μ_і – математичне сподівання базової змінної;

α_і – координата проектної точки базової змінної;

σ_і – стандарт базової змінної, згідно з законом розподілу;

β – прийнята характеристика безпеки;

V_і – коефіцієнт варіації базової змінної.

Для розрахунків знадобляться нормативні значення характеристики безпеки b. Рекомендується до прийняття відповідного нормативного документа застосовувати значення β, які наведені в таблиці 5.1.

Таблиця 5.1 – Рекомендовані мінімальні значення характеристики безпеки

Продовження таблиці 5.1

Iмовірнісна модель проектування елементів, виражена через статистичні параметри опору та навантаження, - аналог фундаментальної нерівності методу граничних станів, має вигляд:

. (5.10)

де μ_R та μ_Q – математичні сподівання узагальненого опору та навантаження, відповідно;

α_R та α_Q – координати проектної точки узагальненого опору та навантаження, відповідно;

σ_R та σ_Q – стандарти базової змінної, згідно з законом розподілу;

β – прийнята характеристика безпеки;

V_R та V_Q – коефіцієнти варіації узагальненого опору та навантаження, відповідно.

Для елемента, який проектується, необхідно перевіряти виконання нерівності

, (5.11)

де β_пот – приписане нормативним документом мінімальне значення характеристики безпеки (табл. 5.7);

β – значення характеристики безпеки, обчислене відносно запроектованого елемента, за виразом

. (5.12)

Математичні сподівання узагальненого опору та навантаження, які відповідають коефіцієнтам рівня довіри V_R = 0.95та V_Q = 0.95знаходяться за формулами:

(5.13)

, (5.14)

де R_n та Q_n – нормативні значення опору (несучої здатності) та навантаження елемента відповідно.

Необхідні для обчислень коефіцієнти варіації рухомих та постійних навантажень наведені в таблицях 5.2-5.6.

Таблиця 5.2 – Коефіцієнти варіації V_Q тимчасових рухомих навантажень АК

Примітка: λ – довжина лінії впливу.

Таблиця 5.3 – Коефіцієнт варіації V_Q постійних навантажень і впливів

Таблиця 5.4 - Коефіцієнт варіації V_R геометричних характеристик поперечного перерізу елемента

Таблиця 5.5 – Коефіцієнт варіації V_R арматури залізобетонних елементів

Таблиця 5.6 – Коефіцієнт варіації V_R міцності бетону