Допомогою другої похідної.
Теорема 11.5. Нехай і друга похідна неперервна в деякому околі точки х1 , тоді при функція має максимум, якщо , і – мінімум, якщо .
Доведення. Доведемо першу частину теореми. Нехай і . З неперервності функції в деякому околі точки х1 випливає, що можна знайти відрізок , якому належить точка х1 і в якому виконуватиметься умова .
Оскільки – перша похідна функції , то з умови виходить, що спадає на відрізку . Але і функція неперервна на , тому що неперервна її похідна. Отже, для має місце , коли , і , коли . Таким чином, похідна під час переходу зліва направо через точку х1 змінює свій знак з “+” на “–”, а це означає (див. теорему 11.4), що в точці х1 функція набуває максимуму.
Аналогічно доводиться друга частина теореми
Зауваження 11.1. Якщо в критичній точці х1 друга похідна дорівнює нулю, тобто , то дана теорема не дає відповіді на запитання про існування екстремуму в точці х1 , і дослідження потрібно проводити за допомогою теореми 11.4.
Теорема 11.5 в деяких випадках спрощує дослідження функції на екстремум: в п. 4) приведеної на початку параграфа схеми треба знайти тільки другу похідну і її знак у критичній точці.
Приклад 11.6. Дослідити на екстремум функцію
.
Розв’язування. Функція визначена на всій числовій прямій. Знаходимо першу й другу похідну:
.
Шукаємо критичні точки функції:
.
Звідси або , де
Відрізку належить тільки одна критична точка . Знайдемо значення другої похідної при :
.
Таким чином, на відрізку функція має тільки один екстремум, а саме, максимум:
.
11.7. Найбільше та найменше значення функції
на відрізку.
Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку вона досягає свого найменшого і найбільшого значень (див. теорему 5.2). Очевидно (див. рис. 11.4), що неперервна функція може набувати своїх найменших та найбільших значень у точках екстремуму або на кінцях відрізка, що розглядається. Тому для відшукання найбільшого та найменшого значень функції на відрізку можна запропонувати таку схему:
1. знаходимо екстремуми функції на заданому відрізку;
2. знаходимо значення функції на кінцях відрізка;
3. із здобутої множини значень функції вибираємо її найменше і найбільше значення.
Приклад 11.7. Знайти найменше і найбільше значення функції на відрізку .
Розв’язання. 1) Знаходимо екстремуми функції:
а) ;
б) критичні точки функції:
.
Отримаємо
або
.
Відрізку належать тільки дві критичні точки , . Знаходимо значення функції в цих точках:
,
.
2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:
,
.
3) Таким чином,
,
.
11.8.Застосування теорії екстремумів до
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 727;