Допомогою першої похідної.

МОНОТОННІСТЬ ТА ЕКСТРЕМУМИ

ФУНКЦІЇ.

11.1. Зростання і спадання функції.

Теорема 11.1. Необхідною і достатньою умовою зростання неперервної на і диференційованою на функції є невід’ємність її похідної на тобто:

зростає на на .

Доведення. Необхідність. Надамо аргументу х приріст і розглянемо відношення

.

Оскільки за умовою теореми – зростаюча функція, то

при ,

і

при .

В обох випадках

. (11.1)

За умовою нашої теореми

,

тому з (11.1) за теоремою 3.10 маємо . Що й треба було довести.

Достатність. Розглянемо два довільні значення аргументу х₁ і х₂ ( ) з відрізка . За умовою нашої теореми на відрізку для функції виконуються умови теореми Лагранжа, тому маємо

, (11.2)

де . За умовою теореми , тому з (11.2) слідує, що , тобто – зростаюча функція

Аналогічна теорема має місце і для спадної функції.

Теорема 11.2. Необхідною і достатньою умовою спадання неперервної на і диференційованою на функції є недодатність її похідної на тобто:

спадна на на

Теореми 11.1 і 11.2 мають наступний геометричний зміст:

якщо на відрізку функція зростає, то дотична до кривої в кожній точці цього відрізку утворює з віссю ОХ гострий кут або (в деяких точках) – горизонтальна, тобто тангенс цього кута не невід’ємний (рис. 11.1);

якщо функція спадна на відрізку , то кут нахилу дотичної тупий або (в деяких точках) дотична горизонтальна, тобто тангенс цього кута не додатний (рис. 11.2).

Таким чином, доведена теорема дає змогу говорити про спадання або зростання функції в залежності від знаку її похідної.

Приклад 11.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язування. Похідна функції рівна

.

Тому при функція спадає, так як тут , , а при функція зростає, так як – (рис. 11.3).

11.2.Максимум і мінімум функції.

Означення 11.1. Функція маємаксимум в точці х₁ , якщо можна знайти окіл точки х₁ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Так функція (рис. 11.4) має максимум в точках х₁ і х₂.

Означення 11.2. Функція має мінімум в точці х₂ , якщо можна знайти окіл точки х₂ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Отже, функція (рис. 11.4) має мінімум в точках х₂ і х₄.

Зауваження 11.1. Функція, яка визначена на відрізку, може досягати максимальних і мінімальних значень тільки в точках, розташованих в середині цього відрізка.

Зауваження 11.2. Максимум і мінімум функції не завжди є відповідно найбільшим і найменшим значенням функції на розглядуваному відрізку.

Наприклад, функція, яка зображена на рис. 11.4, найменше значення на відрізку набуває в точці х₂ , тобто в точці мінімуму, а найбільше – в точці b, а не х₁ або х₃ .

11.3.Необхідна умова існування екстремуму.

Означення 11.3. Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами або екстремальними значеннями функції.

Сформулюємо необхідну умову існування екстремуму функції.

Теорема 11.3. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Доведення. Нехай в точці функція має максимум. Тоді з означення максимуму випливає, що при малих за абсолютним значенням приростах справедлива нерівність

.

Тому знак відношення

визначається знаком , тобто

при (11.3)

при . (11.4)

За означенням похідної

,

причому значення границі не залежить від того, як прямує до нуля (залишаючись від’ємним чи додатним). А з нерівностей (11.3) і (11.4) виходить, що

(11.5)

Оскільки похідна є певним значенням, то нерівності (11.5) сумісні тільки при .

Аналогічно проводиться доведення для випадку мінімуму функції

Геометричний зміст цієї теореми полягає в наступному (рис. 11.4): якщо в точках максимуму або мінімуму функція має похідну, то дотична до кривої в цих точках горизонтальна. Справді, в цьому випадку , тобто .

Наслідок 11.3. Диференційована на інтервалі функція може набувати екстремуму тільки в тих точках х, де .

Це слідує безпосередньо з теореми 11.3

Зворотній висновок неправильний: не при всіх значеннях аргументу, де похідна функції рівна нулю, існує максимум або мінімум функції.

Приклад 11.2. Похідна функції в точці дорівнює нулю, але в цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму (рис. 11.5).

11.4. Достатня умова існування екстремуму.

Ми розглядали функцію, диференційовану на інтервалі. Але екстремум може досягатися і в точках, де похідна не існує.

Приклад 11.3. Розглянемо функцію . Її областю визначення є відрізок , а похідна

не існує в точках . Але в точці задана функція набуває максимуму: (рис. 11.6).

Приклад 11.4. Для функції похідна

не існує при . Але в цій точці функція не має ні максимуму ні мінімуму (рис. 11.7).

Таким чином, функція може набувати екстремуми тільки в точках, де похідна дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву).

Означення 11.4. Значення аргументу, при яких похідна функції існує і дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву), називаються критичними точками цієї функції.

Згідно з прикладами (11.2)–(11.4), не в усіх критичних точках функція набуває екстремуму.

Теорема 11.4.(достатня умова існування екстремуму). Нехай – критична точка функції , яка є неперервною на інтервалі і диференційованою за всіх значень крім, можливо, точки х₁ .

Тоді,

якщо похідна при переході аргументу через точку х₁ зліва на право міняє свій знак з “+” на “–”, то в точці функція набуває максимуму;

якщо ж знак змінюється з “–” на “+”, то в точці функція набуває мінімуму.

Доведення. Нехай похідна змінює знак з “+” на “–”, тобто для всіх значень х, досить близьких до х₁ маємо:

Треба показати, що .

, (11.6)

де z розташоване між х і х₁ .

Для маємо:

, і .

Тому з (11.6) виходить, що . Аналогічно для :

, і ;

тому – . Таким чином, для всіх значень х , досить близьких до х₁ , виконується нерівність , тобто в точці х₁ функція набуває максимуму.

Аналогічно доводиться друга частина теореми – про достатню умову існування мінімуму

11.5.Дослідження функції на екстремум за

допомогою першої похідної.

На підставі двох останніх теорем можна запропонувати наступну схему дослідження диференційованої функції на екстремум за допомогою першої похідної:

1) знаходимо область визначення функції;

2) знаходимо першу похідну функції;

3) шукаємо критичні точки функції:

а) точки, де похідна рівна нулю, тобто знаходимо дійсні корені рівняння ;

б) точки , де похідна зазнає розриву;

4) досліджуємо знак похідної на інтервалах між критичними точками (похідна не змінює свого знаку на інтервалі між двома сусідніми критичними точками, тому досить знайти знак похідної в одній з точок даного інтервалу);

5) знаходимо значення функції в точках екстремальних точках.

Приклад 11.5. Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язування. 1) Область визначення функції: .

2. Знаходимо похідну :

або

. (11.7)

3. Шукаємо критичні точки функції:

а) точки, де похідна дорівнює нулю:

.

Коренями останнього рівняння є значення .

б) точки, де похідна зазнає розриву: таких точок немає, оскільки функція (11.7) визначена на всій числовій осі.

4. Знаходимо інтервали монотонності функції. Для цього на числовій прямій відкладаємо всі критичні точки і дугами виділяємо інтервали постійного знаку похідної (рис. 11.8). Далі знаходимо знаки похідної, підставляючи в похідну (11.7) послідовно значення , , , і показуємо поведінку функції. Наприклад,

,

тому , якщо , і спадає на інтервалі . Аналогічно для інтервалів і .

5) Знаходимо екстремуми функції у:

.

11.6.Дослідження функції на екстремум за