Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . При этом, очевидно, что . Подставляя полученное выражение в исходное уравнение, находим:
; .
Так как первоначальная функция была представлена в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть выбран произвольно.
Например, функция может быть представлена в виде: и т.п.
Таким образом, одну из составляющих произведение функций можно выбрать так, что выполнялось равенство .
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю:
Интегрируя, находим функцию v:
; .
Таким образом, получаем вторую составляющую произведения , которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, находим:
Окончательно получаем формулу:
, - произвольная постоянная.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
Первый шаг данного метода состоит в замене нулем правой части исходного уравнения:
.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
.
Для того чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную некоторой функцией от х.
По правилам дифференцирования произведения функций находим:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение:
;
Из этого уравнения определим переменную функцию :
Интегрируя, получаем:
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.
Таким образом, получаем результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.
Пример. Решить уравнение
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:
Применим полученную выше формулу: Находим:
; ;
Уравнение Бернулли
Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Исходное уравнение делят на :
Используем подстановку, учитывая, что . Находим
; .
Получаем линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
, где
Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на :
Полагаем Находим:
.
Полагая будем иметь:
.
Произведя обратную подстановку, получаем:
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на
Полагаем Находим:
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Интегрируя обе части, получаем:
Полагая , подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, учитывая, что
Находим:
Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 603;