Асимптоты графика функции
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой на бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота .
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая – асимптота кривой .
Например, для функции прямая является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая имеет наклонную асимптоту .
M
N
P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте через М. Пусть Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N. Тогда – ордината точки кривой, - ордината точки N асимптоты.
По условию: , , . Угол - постоянный и не равен . Следовательно,
,
.
Тогда .
Следовательно, прямая – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов и .
В полученном выражении выносим за скобки :
.
Так как , то , т.к. , то .
Тогда . Следовательно,
.
Так как , то . Следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при .
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: : . Следовательно, - вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
,
Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции. Построим график функции.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые и являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:
,
– горизонтальная асимптота. Построим график функции.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Построим график функции.
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 1430;