Исследование функции на возрастание и убывание
Теорема. 1) Если функция имеет производную на отрезке и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. .
2) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке , причем для , то эта функция возрастает на отрезке .
Доказательство. 1) Если функция возрастает, то при и при . Тогда:
2) Пусть для любых точек и , принадлежащих отрезку , причем . Тогда по теореме Лагранжа находим , .
По условию , следовательно, , т.е. функция возрастает.
Теорема доказана.
Аналогично можно доказать, что если функция убывает на отрезке , то на этом отрезке. Если в промежутке , то убывает на отрезке .
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .
Определение. Функция имеет в точке максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функция имеет в точке минимум, если при любом ( может быть и отрицательным).
Оределение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция дифференцируема в точке и точка является точкой экстремума функции, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция имеет в точке максимум (для минимума доказательство аналогично). Тогда при достаточно малых положительных верно неравенство:
, т.е. .
Тогда
.
По определению:
,
т.е. если , но , то , а если , но , то .
А это возможно только в том случае, если при Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то отсюда вообще говоря не следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, функция имеет производную в точке равную нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но не достаточные. Например, и .
Вообще говоря, функция может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция определена и непрерывна в интервале , содержащим критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ).
Если при переходе через точку слева направо производная функции меняет знак с “+” на “-“, то в точке функция имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет в точке минимум.
Доказательство. Пусть По теореме Лагранжа: , где .
Тогда: 1) Если , то ; ; . Следовательно
или .
2) Если , то ; ; . Следовательно
или .
Так как ответы совпадают, то в любых точках в некоторой окрестности точки , т.е. – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно сформулировать алгоритм для нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1) Найти критические точки функции.
2) Найти значения функции в критических точках.
3) Найти значения функции на концах отрезка.
4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 785;