Раскрытие неопределенностей
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
.
Теорема(правило Лопиталя). Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, непрерывны в точке а, отлична от нуля в некотоой окретности точки а и , то предел отношения функций при равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
,
где - точка, находящаяся между и . Учитывая, что , находим
.
Пусть при отношение стремится к некоторому пределу. Так как точка лежит между точками и , то при получим и, следовательно, отношение стремится к тому же пределу. Таким образом:
.
Теорема доказана.
Пример. Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Находим
; ;
.
Пример. Найти предел .
; ;
.
Замечание. Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример. Найти предел . Находим:
; ;
; ;
;
; ;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример.Найти предел . Находим:
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
.
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , в некоторой окрестноститочки при . Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции .
Пример. Найти предел .
Здесь , .
Тогда .
Следовательно
Пример. Найти предел . Имеем:
; - получили неопределенность.
Применяем правило Лопиталя еще раз.
; .
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 558;