Векторные диаграммы

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. При этом необходимо найти результирующее ко-лебание, т.е., колебания необходимо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис.18.5). Так как векторы А₁, и А₂ вращаются
с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной. Оче-видно, что уравнение рез-ультирующего колебания будет

. (18.32)

В выражении (18.32) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями

(18.33)

ВЫВОД: тело, участвуя в двух гармони-ческих колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складывае-мые колебания.

Проанализируем выражение (18.33) в зависимости от разности фаз (j₂-j₁):

1) j₂-j₁=±2mp (m=0, 1, 2, …), тогда A=A₁+A₂т.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна сумме амплитуд складывае-мых колебаний;

2) j₂-j₁=±(2m+1)p (m=0, 1, 2, …), тогда A=êA₁-A₂êт.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний;

Для практики особый интерес представля-ет случай, когда два складываемых гар­мони-ческих колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются коле-бания с периодически изменяющей­ся ампли-тудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими часто-тами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колеба-ний равны А, а частоты равны w и (w+Dw), причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

. (18.34)

Результирующее колебание (18.34) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А_б которого изменяется по следующему периодическому закону:

. (18.35)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебания:

w_б =Dw.

Период биений

Т=2p/Dw.

Характер зависимости (18.34) показан на рис.18.6, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (18.34), а огибающие их - график медленно меняющей-ся по уравнению (18.35) амплитуды.

Определение частоты тона (звука опреде-ленной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкаль-ных инструментов, анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические колебания s=f(t)можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармоничес-ких колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

. (18.36)

Представление периодической функции в виде (18.36) связывают с понятием гар­мони-ческого анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье(Ж.Фурье (1768—1830)- французский ученый).

Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀,
3w₀,…, называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложно­го периодического колебания.