Ный, физический и математический

Маятники

Гармоническим осциллятором называет-ся система, совершающая колебания, описы-ваемые уравнением вида (18.6):

. (18.16)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармоническо-го осциллятора являются пружинный, физии-ческий и математический маятники, колеба-тельный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными.

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упру-гой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (18.16) и (18.1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес-кие колебания по закон с циклической частотой

(18.17)

и периодом

.(18.18)

Формула (18.18) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (18.13) и (18.17), равна

.

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тя-жести колебания вокруг неподвижной гори-зонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис.18.3).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравне-нием динамики вращательно-го движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде

, (18.19)

где J - момент инерции маятника относи-тельно оси, проходящей через точку подвеса О, l - расстояние между ней и центром масс маятника, F_t=mgsina»-mga - возвра-щающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina»a соответствует малым колебаниям маятника т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (18.19) можно записать в виде

Принимая , (18.20)

получим уравнение

идентичное с (18.16), решение которого (18.1) известно:

. (18.21)

Из выражения (18.21) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с цикли-ческой частотой w₀и периодом

,(18.22)

где L=J/(ml) - приведенная длина физичес-кого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис.18.3). Применяя теорему Штейнера (6.1), получим

,

т. e. OO' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблящаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятникаявляется небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маят-ника

, (18.23)

где l - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (18.23) в формулу (18.22), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

. (18.24)

Сравнивая формулы (18.22) и (18.24), видим, что если приведенная длина L физичес­кого маятника равна длине l матема-тического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.