Індивідуальне завдання №1 3 страница

Зауваження. Коефіцієнт детермінації є сенс розглядати тільки у випадку наявності вільного члена в моделі (2.2), тобто , оскільки тільки у цьому випадку, як це вище відзначалося, виконується рівність (2.42), а, отже, і співвідношення (2.46*).

Зміст нагадує зміст вибіркового коефіцієнта кореляції . Це обумовлено рівністю

, (2.47)

яка отримується із використанням (2.46), (1.20), (2.13):

.

Числові характеристики та є точковими статистичними оцінками відповідних невідомих чисел. У зв’язку із цим навіть у випадку та можуть бути відмінними від нуля. А тому виникає необхідність перевірити значущість та , отриманих для конкретної вибірки.

Якщо , тобто відсутня лінійна залежність між залежною і пояснюючою змінними, тоді випадкові величини

та

мають -розподіли відповідно із 1 та ступенями вільності, а їх відношення (згідно із (1.15)) — розподіл Фішера з тими ж ступенями вільності. Тому рівняння регресії значуще на рівні значущості , якщо виконується нерівність

, (2.48)

де — табличне значення -критерія Фішера-Снедокора, визначене на рівні значущості при і ступенях вільності.

Проте виявляється [8, с.97], що -тест (2.48) рівносильний -тесту Ст’юдента при перевірці значущості параметра (у випадку парної лінійної моделі).

В ряді задач потрібно оцінити значущість коефіцієнта кореляції . На рівні значущості він вважається значущим (тобто відкидається гіпотеза ), якщо виконується нерівність (1.21). Однак неважко показати, що отримувані значення -критерію при перевірці гіпотез по (2.33) і по (1.21) однакові.

Отже, якщо на рівні зроблено висновок про значущість , то на тому ж рівні вважається значущим і генеральний (теоретичний) коефіцієнт кореляції і навпаки.

Наведемо інші прості показники якості лінійної регресії, які використовуються як додаткова інформація при виборі найкращої моделі з можливих.

Абсолютна середня відсоткова помилка МАРЕ (mean absolute percentage error):

. (2.49)

Цей показник використовується при порівнянні точності прогнозів різнорідних об’єктів, бо характеризує відносну точність прогнозу. При цьому вважається, що значення МАРЕ, менше 10%, дає високу точність прогнозу, а, отже, і якість моделі; від 10% до 20% — добру точність; від 20% до 50% — задовільну точність; понад 50% — незадовільну точність.

Середня відсоткова помилка МРЕ (mean percentage error):

. (2.50)

Це показник незміщеності прогнозу. З точки зору практики для якісних моделей цей показник повинен бути «малим», тобто не перевищувати 5%.

Зауваження. Показники (2.49) та (2.50) — невизначені, якщо серед є нульове значення.

10. Якщо встановлено, що побудована модель є адекватною, тоді можна знаходити прогнозні значення залежної змінної. При цьому можна отримати два типи прогнозів: точковий та інтервальний. Нехай задається значення незалежної змінної. Тоді точковий прогноз для значення залежної змінної за моделлю (2.11) має такий вигляд:

. (2.51)

Разом з тим дійсне значення залежної змінної для прогнозного періоду згідно із (2.3) дорівнює:

, (2.52)

де стосовно випадкової величини природно вимагати виконання передумов 1-4, тобто

. (2.53)

Отже, є точковою оцінкою невідомого числа , яке є реалізацією (можливим значенням) випадкової величини (2.52).

Згідно із (2.51), (2.52) помилка прогнозу:

. (2.54)

Потрібно знайти числові характеристики та закон розподілу. Незміщеність оцінок , і (2.53) призводять до рівності . Оскільки не корелює із , то згідно із (2.3) не корелює і з . Тому із врахуванням детермінованості , , , (2.14), (2.18), (2.19) отримаємо:

.

Неважко переконатися також у лінійній залежності від збурень . А тому остаточно отримуємо:

,

де

.

Незміщена оцінка знаходиться за формулою

, (2.55)

де визначена формулою (2.22).

За аналогією із побудовою інтервальної зони функції регресії (п.7) остаточно можна отримати довірчий інтервал для прогнозного значення залежної змінної:

. (2.56)

11. Задача 2.1. Торгівельне підприємство має велику кількість філій і його керівництво вивчає питання про залежність (річний товарообіг однієї філії, млн. грн.) від (торгівельної площі, тис. м²). Для десяти філій за певний рік зафіксовані такі значення показників і :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,5	2,9	3,1	3,2	4,3	5,7	5,8		7,2	7,5
	0,2	0,3	0,5	0,6	0,8		1,1	1,2	1,3	1,4

На обсяг товарообігу впливають такі чинники: середньоденна інтенсивність потоку покупців, об’єм основних фондів, їх структура, середньоспискова чисельність працівників, площа підсобних приміщень тощо. Припускається, що в досліджуваній групі філій значення цих чинників приблизно однакові, тому вплив відмінностей їх значень на зміну обсягу товарообігу є незначним.

Вважаючи, що виконуються передумови 1-4, потрібно:

1) знайти статистичні оцінки параметрів лінійного рівняння регресії;

2) точкову оцінку та довірчий інтервал дисперсії збурень із надійністю ;

3) для рівня значущості перевірити значущість коефіцієнтів регресії та ;

4) знайти довірчі інтервали коефіцієнтів регресії з надійністю ;

5) знайти вибіркові коефіцієнт детермінації, коефіцієнт кореляції, а також інші показники якості лінійної регресії (МАРЕ, МРЕ);

6) знайти та побудувати довірчу зону функції регресії з надійністю ;

7) знайти прогнозне значення річного товарообігу для нової філії, торгівельна площа якої складає 1,8 тис. м², а також із надійністю побудувати довірчий інтервал для цього прогнозного значення.

¡ 1) Статистичні оцінки , параметрів та лінійного рівняння регресії задовольняють системі нормальних рівнянь (2.12):

Для знаходження коефіцієнтів цієї системи складемо розрахункову табл. 2.1, останній стовпець якої потрібний для обчислення .

Таблиця 2.1

1	0,2	1,5	0,04	0,3	2,25
2	0,3	2,9	0,09	0,87	8,41
3	0,5	3,1	0,25	1,55	9,61
4	0,6	3,2	0,36	1,92	10,24
5	0,8	4,3	0,64	3,44	18,49
6		5,7		5,7	32,49
7	1,1	5,8	1,21	6,38	33,64
8	1,2		1,44	8,4
9	1,3	7,2	1,69	9,36	51,84
10	1,4	7,5	1,96	10,5	56,25
	8,4	48,2	8,68	48,42	272,22

Використовуючи нижній рядок табл. 2.1, отримаємо (обсяг вибірки ):

; ;

; ;

;

Єдиний розв’язок цієї системи рівнянь згідно із формулами (2.13):

,

.

Отже, емпіричне рівняння регресії має такий вигляд:

. (2.57)

2) Незміщену точкову оцінку невідомої дисперсії збурень знайдемо за формулою (2.22):

,

попередньо обчисливши та , , (табл. 2.2).

Таблиця 2.2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,5	2,9	3,1	3,2	4,3	5,7	5,8		7,2	7,5	–
	1,6938	2,1822	3,159	3,6474	4,6242	5,601	6,0894	6,5778	7,0662	7,5546	–
	-0,1938	0,7178	-0,059	-0,4474	-0,3242	0,099	-0,2894	0,4222	0,1338	-0,0546	0,0044
	0,0376	0,5152	0,0035	0,2002	0,1051	0,0098	0,0838	0,1783	0,0179	0,003	1,1544

Зауваження. Згідно із (2.21): , в той час як у нашому випадку . Цим значенням можна ігнорувати (вважати практично рівним нулю). Разом з тим з’ясуємо причину такого відхилення від нуля. Значення та з точністю до шести знаків після коми відповідно складають 4,884236 та 0,717242, тобто обидва ці значення (хай і несуттєво) більші тих, які взяті у моделі (2.57). Накопичення додатних похибок у різницях і привело до того, що незначно перевищує нуль. Відмітимо також, що значення , приводять до рівності .

Використавши підсумок останнього рядка, отримаємо:

.

Ліва і права межі довірчого інтервалу для визначаються згідно (2.29) за формулами відповідно і , де у відповідності із (2.26) та (2.27) та є коренями рівнянь

, ,

, .

За табл. 4 додатків для знайдемо: і . Тоді ліва межа довірчого інтервалу дорівнює , а права — . Тобто остаточно з надійністю 0,9

.

3) Згідно з п.8, якщо виконується нерівність (2.33): , тоді на рівні значущості приймається гіпотеза . Значення та знайдемо із виразів (2.30):

;

.

Тоді спостережені значення критерію:

, .

Критична точка для двосторонньої критичної області при значеннях , знаходиться за верхньою частиною табл. 3 додатків: .

Оскільки і , то на рівні значущості робимо висновки, що і .

4) Згідно з (2.39) та (2.40) довірчі інтервали з надійністю для невідомих параметрів регресії та мають такий вигляд:

,

де , — корінь рівняння , та — випадкові величини, розподілені за законом Ст’юдента.

У нашому випадку , число ступенів вільності . За табл. 2 додатків знаходимо . Тоді з врахуванням знайдених значень , отримаємо:

,

або остаточно

,

.

5) Коефіцієнт детермінації знайдемо за формулою (2.46*):

.

Із табл. 2.2 (останнє число нижнього рядка) .

Для знаходження використаємо табл. 2.1:

.

Отже,

.

Таким чином, варіація залежної змінної на 97,11% пояснюється варіацією пояснюючої змінної.

Вибірковий коефіцієнт кореляції згідно із (2.47):

.

При цьому додатний знак цього числа обрано в зв’язку з тим, що .

Обчислимо абсолютну середню відсоткову помилку МАРЕ за формулою (2.49):

.

Для цього використаємо другий і четвертий рядки табл. 2.2:

.

Отже, , тобто відповідає високій точності прогнозу за моделлю.

Середню відсоткову помилку МРЕ знайдемо за формулою (2.50):

,

використавши розрахунки при обчисленні МАРЕ:

.

Остаточно

.

Висновок: всі знайдені показники вказують на високу якість моделі.

6) Побудова довірчої зони для функції регресії передбачає побудову точок з координатами , , з наступним з’єднанням сусідніх (по індексу ) точок прямолінійними відрізками, а потім здійснення аналогічної процедури для послідовності точок .