Індивідуальне завдання №1 2 страница

оскільки згідно із (2.13)

.

Відмітимо, що рівність (2.21) відповідає передумові 1 і вона виконується, взагалі кажучи, тільки у випадку (пропонується самостійно переконатися в цьому).

Отже, в оцінці фігуруватиме тільки складова . Наступний крок — відкоригувати цю оцінку з тим, щоб вона стала незміщеною. Можна довести ([4, с.207]), що .

Тому

(2.22)

є незміщеною оцінкою невідомої .

Звернемо увагу на знаменник у (2.22). Виникає питання, як його пояснити, враховуючи, що незміщеною оцінкою (виправленою дисперсією) невідомої генеральної дисперсії кількісної ознаки є

, (2.23)

тобто знаменник у цьому випадку вже дорівнює . Справа у тому, що для знаходження (2.23) вхідною інформацією є чисел . Але серед чисел незалежними є тільки , оскільки , тобто одне із чисел можна виразити з допомогою останньої рівності через решту чисел.

У випадку (2.22) вхідною інформацією є чисел , які задовольняють двом рівностям (2.14). Тепер уже два числа можна виразити через решту, використавши ці рівності, тобто лінійно незалежними є вже чисел.

Число (для (2.22) , а для (2.23) ) називається числом зв’язків, накладених на вибірку, при знаходженні дисперсії.

Число називається числом ступенів вільності.

5. Згідно із (1.7) та (2.22) випадкова величина

(2.24)

розподілена за законом із числом ступенів вільності . Оскільки розподіл несиметричний [3, с.126], то це приводить до несиметричності і довірчого інтервалу для випадкової величини, розподіленої за цим законом.

Для побудови довірчого інтервалу , в який з імовірністю потрапить можливе значення , виберемо його межі таким чином, щоб

. (2.25)

Для цього значення і знайдемо за табл. 4 додатків, використовуючи рівняння

, , (2.26)

, . (2.27)

Із співвідношень (2.26), (2.27) з використанням протилежних подій і того, що для можливого значення , випливає виконання рівностей (2.25).

Отже, за побудовою подвійна нерівність

(2.28)

виконується з імовірністю .

З першої нерівності (2.28) отримаємо рівносильну нерівність , а з другої: , об’єднання яких дає шуканий довірчий інтервал для оцінки :

. (2.29)

6. Вище були знайдені точкові МНК-оцінки невідомих параметрів регресії , , а також їх числові характеристики. На перший погляд, наступний крок мав би полягати у побудові інтервальних оцінок для цих параметрів. Проте в полі зору необхідно тримати правомірність самої специфікації вихідної моделі (2.2), тобто теоретично можливі такі варіанти:

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) .

При цьому безпосередньо на підставі вибірки неможливо діагностувати кожний із цих варіантів, оскільки вибірка організовується випадковим чином. У той же час немає сенсу будувати довірчі інтервали для у випадках 3 та 4, а для — у випадках 2 та 4.

Відмітимо важливість діагностування рівності . У цьому випадку взагалі слід переглянути висунуту модель. Разом з тим, якщо (при ), то це, як буде встановлено нижче, необхідно враховувати при розгляді питання про якість моделі.

Отже, актуальним є питання про з’ясування значущості коефіцієнтів регресії і на підставі наявних статистичних даних.

Висунемо статистичну нульову гіпотезу , де . Альтернативна гіпотеза . Задамо також рівень значущості .

Згідно із (2.17) і (2.14) МНК-оцінки є незміщеними і лінійними відносно випадкових величин , які у відповідності із (2.8) розподілені нормально ( , ). Тому і мають нормальний розподіл:

, ,

де визначаються формулами (2.18), (2.19). Незміщеною оцінкою є (формула (2.22)). Тому із врахуванням (2.18), (2.19) незміщені оцінки (вони невідомі, бо невідомим є !) визначаються формулами

, . (2.30)

Розглянемо випадкову величину (1.13), де , , , визначається за формулою (2.24), тобто

. (2.31)

Вона має -розподіл із ступенями вільності і вже не залежить від .

Враховуючи (2.18), (2.19) та (2.30), із (2.31) отримаємо такі -розподіли:

, . (2.32)

Зміст основної гіпотези та альтернативної дозволяє сформулювати двосторонній критерій значущості оцінок , :

якщо виконується нерівність

, (2.33)

де , , — критична точка розподілу Ст’юден-та (табл. 3 додатків), тоді на рівні значущості приймається гіпотеза , тобто вважається, що .

7. Нехай нерівність (2.33) виконується для , що означає існування стохастичного зв’язку між змінними та .

Побудуємо довірчий інтервал для функції регресії, тобто для умовного математичного сподівання , який із заданою надійністю покриває невідоме значення .

Знайдемо дисперсію групової середньої , яка є статистичною оцінкою . Для цього рівняння регресії (2.11) запишемо у такому вигляді

, (2.34)

підставивши другу рівність (2.13) в (2.11). Перевагою рівняння (2.34) є некорельованість його доданків справа. Доведення рівності (за припущенням є детермінованою величиною) здійснюється з використанням (2.14), (2.4) і (2.16). Тому дисперсія лівої частини (2.34) дорівнює сумі дисперсій двох незалежних доданків правої:

, (2.35)

де отримується внаслідок винесення детермінованого множника за знак дисперсії, піднесеного до квадрату.

Згідно із (2.18) , а використання (2.8) дає

.

Отже, з (2.35)

,

а незміщена оцінка знаходиться за формулою:

, (2.36)

де визначена формулою (2.22).

Розглянемо статистику (1.10)

,

поклавши , , .

Використання передумов 1-4 та (1.7) дозволяє показати, що , а має розподіл із ступенями вільності, причому та незалежні випадкові величини. Тому випадкова величина

має -розподіл Ст’юдента із ступенями вільності. Оскільки густина розподілу Ст’юдента парна, то

. (2.37)

У табл. 2 додатків наведені значення як кореня рівняння (2.37) в залежності від заданої довірчої імовірності і від числа ступенів вільності .

Таким чином, довірчий інтервал для невідомого умовного сподівання має такий вигляд:

, (2.38)

де , визначається формулою (2.36).

Якщо врахувати, що , а змінюється, то подвійна нерівність (2.38) дає довірчу зону для прямої регресії . Тому потрібно з’ясувати, яка поведінка «ширини» цієї зони при зміні . Із формул (2.36) і (2.38) видно, що «ширина» зони мінімальна при , а при віддаленні від вона збільшується (мал. 2.1).

Малюнок 2.1.

Таким чином, прогноз значень залежної змінної (в середньому) може призвести до значних похибок.

Побудова довірчої зони для функції регресії (або ) у випадку конкретної вибірки (іншими словами, довірчої зони для значень регресії в базисних точках) передбачає побудову точок з координатами , , з наступним з’єднанням сусідніх (по індексу ) точок прямолінійними відрізками, а потім здійснення аналогічної процедури для послідовності точок .

8. Нехай МНК-оцінки та є значущими, тобто виконуються нерівності (2.33). Побудуємо довірчі інтервали для невідомих параметрів та , використавши випадкові величини (2.32), які розподілені за законом Ст’юдента із ступенями вільності.

Позначимо , корені рівнянь

,

відповідно, які знаходяться за табл. 2 додатків. Тоді із надійністю виконуються нерівності

,

звідки отримуються довірчі інтервали

, (2.39)

, (2.40)

де , визначаються формулами (2.30).

9. Основна мета дослідження моделі (2.2) — це статистично надійний точковий чи інтервальний прогноз значень залежної змінної або її математичного сподівання. Для досягнення цієї мети необхідно з’ясувати якість моделі або значущість моделі, тобто встановити, чи відповідає модель експериментальним даним і чи достатньо включених в рівняння незалежних (пояснюючих) змінних (однієї або кількох) для описання залежної змінної. Перевірка значущості рівняння регресії проводиться на основі дисперсійного аналізу, який у даному випадку використовується як допоміжний засіб для вивчення якості регресійної моделі.

Розглянемо питання про декомпозицію дисперсій. Дисперсія спостережених значень залежної змінної має такий вигляд:

.

Відхилення запишемо таким чином:

. (2.41)

У статистиці різницю називають загальним відхиленням, — відхиленням, яке можна пояснити моделлю, — непояснюваним відхиленням (яке не можна пояснити моделлю).

Піднесемо обидві частини (2.41) до квадрату та підсумуємо за індексом :

.

Якщо в моделі (2.2) , тоді другий доданок в правій частині дорівнює нулю із врахуванням системи нормальних рівнянь (2.12):

.

Тому остаточно отримаємо рівність

(2.42)

або

,

де — загальна сума квадратів, — пояснена сума квадратів, — непояснена сума квадратів.

Поділивши (2.42) на , отримаємо:

, (2.43)

де — загальна дисперсія, — дисперсія, що пояснює регресію, — дисперсія помилок.

Для одержання незміщених оцінок дисперсій, які фігурують в рівності (2.43), потрібно знайти відповідні ступені вільності.

Для обчислення використовуються чисел , серед яких лінійно незалежними є , оскільки . Тому ступінь вільності дорівнює .

Із врахуванням (2.13) рівняння регресії можна записати у такому вигляді:

,

звідки .

Отже, утворюється з використанням однієї одиниці незалежної інформації — , тому ступінь вільності її дорівнює 1 або , де — число параметрів моделі ( ).

Нарешті, має (див. п.4) ступенів вільності.

Означення. Число, яке отримується діленням суми квадратів на відповідний ступінь вільності, називається середнім квадратом.

Середні квадрати

, (2.44)

є незміщеними оцінками дисперсій залежної змінної, обумовлених відповідно регресією (пояснюючою змінною) і дією неврахованих факторів та помилок.

Повернемося до рівності (2.43). Якщо обидві її частини розділити на , то отримаємо

. (2.45)

Означення. Перший доданок в правій частині (2.45) називається коефіцієнтом детермінації і позначається (або ):

. (2.46)

Із рівності (2.45) отримаємо рівносильну формулу для означення коефіцієнта детермінації:

. (2.46*)

є однією із найбільш ефективних оцінок адекватності регресійної моделі, мірою її якості або характеристикою прогностичної сили моделі.

Величина показує, яка частина (частка) варіації залежної змінної обумовлена варіацією пояснюючої змінної.

Оскільки доданки в рівності (2.45) невід’ємні, то з врахуванням (2.46) отримується подвійна нерівність .

Чим ближче значення до одиниці, тим краще модель апроксимує емпіричні дані, тим ближче спостереження знаходяться по відношенню до прямої регресії. Якщо , то всі емпіричні точки лежать на прямій регресії і між змінними та існує лінійна функціональна залежність. Якщо ж , то варіація залежної змінної повністю обумовлена дією неврахованих у моделі змінних і пряма регресії паралельна осі абсцис.