Законы радиоактивного распада

Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Решение

Пусть в момент времени t = 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времени t = t´ (рис. 2.1.1) имеется две возможности:

1. Ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q(t´);

2. Ядро распалось и вероятность этого события равна р(t´).

Очевидно, что

т.к. третьей возможности нет.

Рассмотрим, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´, не испытав при этом распада за время t´. Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность совместного появления обеих событий будет равна

где λdt´- вероятность распада за интервал времени dt´. Из (2.1.1) следует, что dp(t´) = - dq(t´). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахождения q(t´):

Используя очевидное начальное условие q(t = 0) = 1 найдем, что вероятность ядру не распасться к заданному моменту времени

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

Если в момент времени t = 0 имелось N₀ радиоактивных ядер, то к моменту времени t наиболее вероятное (ожидаемое) число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад, должно быть равным

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться от N(t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.

Задача 2.2

Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер τ = 1/λ, где λ – их постоянная распада.

Решение

По правилу нахождения среднего значения случайной величины

,

(2.2.1)

поскольку dp(t) – вероятность (вероятность р(t) нормирована на единицу!) того, что ядро, прожив время t, распадется между t и t + dt, а вероятность p(t) получена в предыдущей задаче (см. (2.1.4)). Выполняя в (2.2.1) интегрирование по частям, получим

.

Задача 2.3

Какая доля первоначального количества ядер ⁹⁰Sr: а) останется через 10 и 100 лет; б) распадется за одни сутки; за 15 лет?

Решение

Будем предполагать, что первоначальное количество ядер настолько велико, что доли распавшихся η_а и доли оставшихся η_б ядер совпадают с вероятностями q(t) (2.1.4) и p(t) (2.1.5) соответственно, полученными в задаче 2.1. Необходимую величину постоянной распада λ = ln2/Т_1/2 определим через период полураспада, величину которого найдем в таблице табл. 1 Приложений.

а)

η_а(t) = e^-λt = .

η_а(t₁) = = 0,78.

η_а(t₂) = = 0,084.

б)

η_б(t) = .

η_б(t₁) = = 6,8·10^-5

η_б(t₁) = =0,31

Задача 2.4

Вычислить постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радиоактивного нуклида, активность A(t) которого уменьшается в 1,07 раза за 100 дней.

Решение

Активность по определению – среднее число распадающихся ядер в единицу времени (см. формулу (2.2)).

Число ядер, которые должны испытать распад за время t,

Дифференцируя (2.4.1) по времени, получим формулу (2.2):

где А₀ = λN₀ – активность в начальный момент времени. Таким образом,

.

Решая последнее уравнение относительно λ, получим

.

Найти τ и Т_1/2 рекомендуется самостоятельно, используя приведенные выше формулы.

Задача 2.5

Определить возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность ¹⁴С составляет 3/5 удельной активности этого же нуклида в только что срубленных деревьях.

Решение

Радиоактивный углерод ¹⁴С, период полураспада которого Т_1/2 = 5730 лет, непрерывно образуется в верхних слоях атмосферы Земли из азота ¹⁴N под действием космического излучения. Благодаря ветрам и океанским течениям равновесная концентрация ¹⁴С в различных местах земного шара одинакова и равна примерно 15 распадам в минуту на каждый грамм углерода в составе живых организмов. Пока организм жив в результате процессов обмена концентрация ¹⁴С в нем остается постоянной из-за круговорота веществ в природе. После смерти организма усвоение ¹⁴С прекращается и его количество начинает убывать по обычному закону (2.1) радиоактивного распада, что позволяет определить дату смерти или, как говорят археологи, возраст.

Согласно (2.2) и условию задачи

,

откуда

Задача 2.6

Свежеприготовленный препарат содержит 1,4 мкг радиоактивного нуклида ²⁴Nа. Какую активность он буде иметь через сутки?

Решение

Согласно (2.2)

Задача 2.7

Определить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном препарате ⁸²Br, если известно, через сутки его активность стала равной 7,4·10^-9 Бк (0,4 Ки).

Решение

Из формулы (2. 2) следует, что

Задача 2.8

Вычислить удельную активность чистого ²³⁹Pu.

Решение

Удельная активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:

.

(2.8.1)

Для нуклида (без учета вторичных компонент, возникающих после распада)

,

(2.8.2)

т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени. Учитывая, что T_1/2(²³⁹Pu) = 24000 лет, получим

Задача 2.9

Сколько миллиграмм β-активного ⁹⁰Sr следует добавить к 1 мг неактивного стронция, чтобы удельная активность препарата стала равной 6,8 Ки/г?

Решение

.

(2.9.1)

Из этого уравнения

.

Удельную активность нуклида ⁹⁰Sr, период полураспада которого Т_1/2 = 28 лет, вычислим по формуле (2.8.2):

.

Используем полученную удельную активность нуклида ⁹⁰Sr для получения ответа:

.

Задача 2.10

В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего ²⁴Nа активностью А₀ = 2,1·10³ Бк. Активность одного см^-3 крови, взятой через t = 5 ч после этого, оказалась равной а = 0,28 Бк/см³. Найти объем крови человека.

Решение

Будем предполагать, что за 5 часов концентрация атомов ²⁴Nа в крови человека стала одинаковой. Тогда

.

Из этого уравнения находим

.

Задача 2.11

При радиоактивном распаде ядер нуклида А₁ образуется радионуклид А₂. Их постоянные распада равны λ₁ и λ₂. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклида А₁ в количестве N₀₁, определить:

а) количество ядер нуклида А₂ через промежуток времени t;

б) промежуток времени, через который количество ядер нуклида А₂ достигнет максимума;

в) в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?

Решение

а) Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:

где N₁₀ - начальное количество ядер нуклида А₁.

Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А₂ за время dt:

Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А₂, которые возникают за время dt, второй - среднее число ядер нуклида А₂, которые распадаются за время dt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид:

Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.

Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть

в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функции С(t):

dС/d t = λ₁N₁₀exp[(λ₂ - λ) t],

решение которого есть

.

(2.11.5)

Константа С₁ определяется из начальных условий.

Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим

.

(2.11.5)

Если при t = 0, N₂₀ = 0, то окончательно имеем

.

(2.11.6)

б) Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахождения t_m – времени накопления максимального числа ядер нуклида А₂:

,

из которого

.

(2.11.7)

в) Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение

.

Если λ₂ >> λ₁ [(T_1/2)₂ << (T_1/2)₂] и t >> 1/ λ₂ ≈ (T_1/2)₂, то

.

(2.11.8)

Таким образом, получена формула (2.4).

Задача 2.12

Нуклид ²²⁶Ra, являясь продуктом распада ²³⁸U, содержится в последнем в количестве одного атома на каждые 2,80·10⁶ атомов ²³⁸U. Найти период полураспада ²³⁸U, если известно, что он значительно больше периода полураспада ²²⁶Ra, который равен 1620 годам.

Решение

Для решения используем формулу (2.11.8) из предыдущей задачи, так как условия, при которых она справедлива, соблюдены:

,

откуда

.

Задача 2.13

При β-распаде ¹¹²Pd возникает β-активный нуклид ¹¹²Ag. Их периоды полураспада равны соответственно 21 и 3,2 ч. Найти отношение максимальной активности нуклида ¹¹²Ag к первоначальной активности препарата, если в начальный момент препарат содержал только нуклид ¹¹²Pd.

Решение

Будем обозначать индексом «1» величины, относящиеся к ¹¹²Pd, а индексом «2» величины, относящиеся к ¹¹²Ag. Тогда

; .

Искомое отношение

,

(2.13.1)

где N(t_m) – максимальное число атомов нуклида ¹¹²Ag, которое накапливается за время t_m (2.11.7). Используя (2.11.6), получим

.

(2.13.2)

Вычислим, используя (2.11.7),

,

а затем по формуле (2.13.2) вычислим

.

Задача 2.14

Радионуклид испытывает превращение по цепочке:

(под стрелками указаны соответствующие периоды полураспада). Считая, что в начальный момент t = 0 препарат содержал только ¹¹⁸Cd, найти:

а) какая часть ядер превратиться в стабильные ядра через 60 мин;

б) во сколько раз уменьшится активность препарата через 60 мин.

Решение

а) Пусть N₁₀ – первоначальное количество ядер, а N₃(t) - количество образовавшихся ядер ¹¹⁸Sn за время t.

В свою очередь, количество образовавшихся ядер ¹¹⁸Sn за время t равно числу распавшихся ядер ¹¹⁸In за этот же промежуток времени:

,

где N₂(t) и λ₂ – зависимость числа ядер ¹¹⁸In от времени и их постоянная распада. Используя формулу (2.11.6), получим

.

Таким образом,

.

Величину η_а вычислить самостоятельно (η_а = 0,7).

б) Активность препарата через время t составит

A(t) = A₁(t) + A₂(t) = λ₁·N₁(t) + λ₂·N₂(t).

Тогда

.

Величину η_б вычислить самостоятельно (η_б = 1,85).

Задача 2.15

Определить массу свинца, который образуется из 1,0 кг ²³⁸U за период, равный возрасту горных пород (2,5·10⁹ лет).

Решение

²⁰⁶Pb является конечным и стабильным элементом в радиоактивном семействе (ряду) урана, родоначальником которого является ²³⁸U. Поскольку суммарный период полураспада всех последующих звеньев семейства много меньше, чем период полураспада ²³⁸U, то с хорошей точностью можно считать, что период полураспада, приводящий к образованию ²⁰⁶Pb, равен в точности периоду полураспада ²³⁸U.

Искомая масса ²⁰⁶Pb будет равна

где N_p(²³⁸U) – количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t, которые, в конечном итоге, превратились в равное количество ядер ²⁰⁶Pb. Если первоначальное количество ядер ²³⁸U равнялось

,

то количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t составит

.

Подставив последнее выражение в (2.15.1), получим

m(²⁰⁶Pb) = =

= 0,27 кг.

Задача 2.16

Радионуклид ²⁷Mg образуется с постоянной скоростью g = 5,0·10¹⁰ ядер в секунду. Определить количество ядер ²⁷Mg, которое накопится в препарате через промежуток времени: а) значительно превышающий его период полураспада; б) равный периоду полураспада.

Решение

Рассмотрим изменение dN ядер ²⁷Mg в течение малого промежутка времени dt:

где gdt - количество рождаемых ядер, а λNdt - количество распадающихся ядер за время dt.Интегрируя это уравнение с начальным условием N(t = 0) = 0, получим формулу (2.3):

.

а) Предельный переход в (2.3) при t → ∞ дает

.

Полученный результат определяет максимально возможное количество ядер ²⁷Mg, которое может образоваться при заданных условиях.

б) Если t = T_1/2 , то выражение в скобках в (2.3) равно 1/2 и с учетом результата п. а), получим

.

Задача 2.17

Радионуклид ¹²⁴Sb образуется с постоянной скоростью g = 1,0·10⁹ ядер в секунду. С периодом полураспада Т_1/2 = 60 сут он превращается в стабильный нуклид ¹²⁴Те. Найти:

а) через сколько времени после начала образования активность ¹²⁴Sb станет А = 3,7·10⁸ Бк.

б) какая масса нуклида ¹²⁴Те накопится в препарате за четыре месяца после начала его образования.

Решение

а) Умножая правую и левую части формулы (2.3) на постоянную распада λ нуклида ¹²⁴Sb, получим уравнение

,

(2.17.1)

из которого

.

б) Так как распад каждого атома нуклида ¹²⁴Sb сопровождается образованием атома стабильного нуклида ¹²⁴Те, то его масса за время t после начала образования нуклида ¹²⁴Sb будет равна:

m_Te(t) = М_ат(¹²⁴Те)·N(t),

где N(t) – количество ядер нуклида ¹²⁴Sb, распавшихся за время t. В свою очередь

,

если для вычисления A(t) использовать (2.17.1).

Окончательно получим

m_Te(t_б) = М_ат(¹²⁴Те)·

= 124·1,66·10^-24 [exp + -1]

.

Задача 2.18

Радионуклид ¹³⁸Xe, который образуется с постоянной скоростью g= 1,0·10⁹ ядер в секунду, испытывает превращение по схеме

(под стрелками указаны периоды полураспада). Вычислить суммарную активность препарата через 60 мин после начала накопления.

Решение

Искомая активность

Зависимость А₁(t) активности нуклида ¹³⁸Xe выражается формулой (2.17.1). Для нахождения зависимости N₂(t) накопления ядер нуклида ¹³⁸Сs необходимо решить уравнение

,

где N₁(t) и N₂(t) выражают накопление ядер ¹³⁸Xe и ¹³⁸Сs, а N₁(t) вычисляется по формуле (2.3). Тогда

Решение этого уравнения, которое получается методом вариации постоянной (см. задачу 2.11), при N₂(t=0) = 0 имеет вид:

.

Подставив полученное решение и (2.17.1) в (2.18.1), получим окончательно

.

Вычисление величины А проделать самостоятельно (А = 1,4·10¹⁰ Бк).

α- и β-распады, γ-излучение ядер

Задача 2.19

Покоящиеся ядро ²¹³Ро испустило α-частицу с кинетической энергией Т_α = 8,34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергию Q_α, освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра.

Решение

1). Запишем схему α-распада ядра ²¹³Ро:

.

Так как освобождаемая энергия Е_α переходит в кинетическую энергию продуктов распада, то при распаде покоящегося ядра ²¹³Ро:

Закон сохранения импульса:

,

или

,

(2.19.2)

поскольку исходное ядро покоится. Т.к. Т_α << М_α а, следовательно, и Т_я << М_я, то можно использовать классическую связь между кинетической энергией и импульсом:

.

В этом случае с помощью (2.19.2) получаем, что

.

(2.19.3)

Подставив (2.19.3) в (2.19.1) и решая полученное уравнение относительно Е_α, получим

.

(2.19.4)

2). Доля кинетической энергии Т_я ядра ²⁰⁹Pb от полной энергии Q_α, высвобождаемой при α-распаде ядра ²¹³Ро, составит

3). Скорость ядра отдачи

=

= 3,8·10⁵ м/с.

Задача 2.20

Распад ²²⁶Th ядер происходит из основного состояния и сопровождается испусканием α-частиц с кинетическими энергиями 6,33; 6,23; 6,10 и 6,03 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней дочернего ядра.

Решение

Построим энергетическую диаграмму α-переходов ядра ²²⁶Th. Жирными линиями обозначены основные уровни энергии материнского и дочернего ядра. Суммарная кинетическая энергия ядра отдачи ²²²Ra и α-частицы при рождении дочернего ядра в одном из возможных энергетических состояний равна, согласно (2.19.4),

.

(2.20.1)

Тогда, если энергию E₂₀ основного уровня дочернего принять за ноль, энергии уровней будут иметь следующие значения:

.

Задача 2.21

При распаде ядер ²¹²Ро испускаются четыре группы α-частиц: основная с кинетической энергией 8,780 МэВ и длиннопробежные с кинетическими энергиями 9,492; 10,422 и 10,543 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней ядра ²¹²Ро, если известно, что дочерние ядра во всех случаях возникают непосредственно в основном состоянии.

Решение

Ядра ²¹²Ро, имеющие период полураспада относительно α-распада около 2·10^-7 с, рождаются в результате β-распада ядер ²¹²At, причем преимущественно в одном из возбужденных состояний. У ядер с существенно большими периодами полураспада по отношению к α-распаду, сначала имеет место переход в основное состояние с испусканием γ-квантов, после чего α-распад. Однако из-за очень малого времени жизни по отношению к α-распаду небольшая, но заметная часть возбужденных ядер ²¹²Ро будет испытывать α-распад из возбужденных состояний. При этом к энергии α-распада добавляется энергия возбуждения материнского ядра и возникающие таким образом α-частицы имеют бóльшую энергию, чем испущенные из основного состояния. Возникающая ситуация иллюстрируется с помощью диаграммы возможных энергетических переходов при α-распаде ядер ²¹²Ро. Тогда, согласно формулам (2.19.1) и (2.20.1), возможные уровни энергий ядра ²¹²Ро будут иметь следующие значения:

.

Задача 2.22

Оценить высоту кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами ²²²Rn (закруглением вершины барьера пренебречь). Какова у этих ядер ширина барьера (туннельное расстояние) для α-частиц, вылетающих с кинетической энергией 5,5 МэВ.

Решение

Если пренебречь линейными размерами α-частицы и считать ее точечным объектом, то кулоновский барьер будет иметь остроконечную форму. Из формулы (2.15)

.

Очевидно, что полученная оценка несколько завышена.

Если предположить, что кинетическая энергия α-частицы по обе стороны потенциального барьера Т_к = Т_α = 5,5 МэВ, то ширина барьера (туннельное расстояния) – область, классически недоступная α-частице, представлена на схеме отрезком R_яR₁.

Для нахождения радиуса ядра ²²²Rn воспользуемся формулой (1.1):

R_я = 1,4·10^-13A^1/3 = 1,4·10^-13222^1/3 = 8,5·10^-13 см.

Положение точки R₁ на оси r найдем из условия равенства потенциальной энергии α-частицы в электрическом поле ядра ²²²Rn в точке R₁ и ее кинетической энергии Т_к:

,

если использовать формулу (2.14). Из последнего уравнения

Ширина барьера составит

R₁ – R_я = (42,8 – 8,5)·10^-13 = 3,4·10^-12 см.

Задача 2.23

Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами ²⁰⁹Ро, с орбитальным моментом l = 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.

Решение.

α-Частица может покидать ядро не только двигаясь точно по лини, проходящей через центр инерции системы дочернее ядро – α-частица, т.е. с l = 0, но и покидать ядро, имея орбитальный момент l > 0. В этом случае, кинетическая энергия α-частицы, необходимая для преодоления кулоновского барьера, уменьшается на величину центробежной энергии на границе ядра:

Т_к = Т_α – B_ц.

Таким образом, возникает центробежный барьер, который необходимо преодолеть α-частице как при входе в ядро, так и покидая его. В классической механике центробежная энергия двух тел массой M и m, вращающихся вокруг центра инерции c линейными скоростями V и v соответственно, равна

,

т.к. вращение обоих тел относительно центра инерции (точка «о») происходит с одинаковой угловой скоростью и поэтому V/v = r/R = m/M (см. схему). Продолжая преобразования, получим

.

Учитывая, что механический (орбитальный) момент α-частицы может принимать только дискретные значения,

,

величины которых определяются орбитальным квантовым числом l = 0,1,2,…, получим выражение для центробежного потенциала:

,

где - приведенная масса α-частицы и ядра ²⁰⁹Ро. Значение W_ц при r = R_я называется высотой центробежного барьера

.

(2.23.1)

Последовательное квантовомеханическое рассмотрение приводит к такому же выражению для центробежного барьера.

Используя формулу (2.15) для высоты кулоновского барьера, получим окончательно

Задача 2.24

Найти ширину первого возбужденного уровня ядер ²¹⁴Ро по отношению к испусканию γ-квантов, если известно, что при распаде с этого уровня на каждую α-частицу основной группы испускается в среднем 4,3·10^-7 длиннопробежных α-частиц и 0,286 γ-квантов. Постоянная распада по отношению к испусканию длиннопробежных α-частиц равна 2,0·10⁵ с.

Решение

(2.24.1)

Число длиннопробежных α-частиц на одну основную

.

(2.24.2)

То же для γ-квантов:

.

(2.24.3)

В (2.24.2) и (2.24.3): (А_α)₀и А_α– активности α-распада из основного и возбужденного состояний; А_γ – активность по отношению к испусканию γ-квантов из возбужденного состояния; N₀ и N - количество ядер ²¹⁴Ро в основном и возбужденном состояниях; (λ_α)₀, λ_α и λ_γ – соответствующие постоянные распада.

Отношение (2.24.3) к (2.24.2) дает

,

(2.24.4)

откуда

.

(2.24.5)

Подставив (2.24.5) в (2.24.1), получим

эВ.

(2.24.6)

Задача 2.25

Вычислить суммарную кинетическую энергию частиц, возникающих при β-распаде покоящегося нейтрона.

Решение

Распад свободного (изолированного от действия ядерных сил) нейтрона происходит по схеме:

n → p + e^-+ .

Энергия Q_β, освобождаемая при β-распаде нейтрона, выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся частиц:

Q_β = Т = m_n – m_p – m_e - m_ν = m_n – m_p – m_e,

т.к. по современным представлениям m_ν < 18 эВ и ей можно пренебречь. Тогда

Т = m_n – m_p – m_e = 938,28 – 936,99 – 0,511 = 0,78 МэВ.

Задача 2.26

Как определяются энергии, освобождаемые при β^--распаде, β⁺-распаде и К-захвате, если известны массы материнского и дочернего нуклидов и масса электрона.

Решение

а) Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при β^--распаде:

Q_β^- = M(A,Z) – M(A,Z+1) - m_e.

Прибавим к правой части и вычтем Z·m_e:

Q_β^- = M(A,Z) – M(A,Z + 1) - m_e + Z·m_e - Z·m_e.

Так как масса атома

M_aт(A,Z) = M(A,Z) + Z·m_e - ΔW_e(A,Z),

где ΔW_e(A,Z) – энергия связи всех атомных электронов, то

Q_β^- = M_aт(A,Z) – M_aт(A,Z+1) + ΔW_e(A,Z) - ΔW_e(A,Z + 1).

Но величина |ΔW_e(A,Z) - ΔW_e(A,Z + 1)| по порядку величины равна энергии связи валентного электрона в атоме. Поэтому, с хорошей точностью

б) Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при β⁺-распаде:

Q_β⁺ = M(A,Z) – M(A,Z - 1) - m_e.

Прибавив к правой части и вычитая Z·m_e, получим, выполняя преобразования аналогичные п. а),

в) Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при К-захвате:

Q_К = M(A,Z) + m_e – M(A,Z-1).

Прибавим к правой части и вычтем (Z - 1)·m_e. Выполнив преобразования, аналогичные п. а), получим

Задача 2.27

Зная массу дочернего нуклида и энергию β-распада Q_β, найти массу нуклида:

а) ⁶Не, испытывающего β^--распад, Q_β = 3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺-распад, Q_β = 1,83 МэВ.

Решение

а) Запишем схему распада ⁶Не:

.

Используя формулу (2.26.1), получим

M_aт(A,Z) = M_aт(A,Z+1) + Q_β =

= 6 + 0,015126 + 3,50/931,5 = 6,0189 а.е.м.

б) Запишем схему распада ²²Na:

.

Используя формулу (2.26.2), получим

M_aт(A,Z) = M_aт(A,Z-1) + 2m_e + Q_β ^- =

= 22 - 0,005565 + (2·0,511 + 3,50)/931,5 = 21,99944 а.е.м.

Задача 2.28

Установить, возможны ли следующие процессы:

а) β^--распад ядер ⁵¹V (-0,05602);

б) β⁺-распад ядер ³⁹Са (-0,02929);

в) К-захват для ядер ⁶³Zn (-0,06679).

В скобках указаны избытки масс нуклидов в а.е.м.

Решение

Перечисленные процессы возможны, если энергия распада Q_β > 0. Для нахождения Q_β воспользуемся результатами решения задачи 2.26.

а). По формуле (2.26.1)

б). По формуле (2.26.2)

в). По формуле (2.26.3)

Задача 2.29

Ядро ³²Р испытало β-распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Определить максимальную кинетическую энергию β-частиц и соответствующую кинетическую энергию дочернего ядра.

Решение

Процесс β-распада ³²Р выглядит следующим образом:

³²Р →β^- + ³²Si + , Q_β = 1,71 МэВ (см. табл. 1 Приложений).

Высвобождаемая энергия в этом процессе представляется в следующим виде:

.

Вылету β-частиц с максимальной кинетической энергией соответствует нулевая энергии антинейтрино и для этого случая

;	(2.29.1)
,	(2.29.2)

если материнское ядро покоится. Здесь - величины импульсов дочернего ядра и β-частицы. Так как кинетическая энергия β-частиц сравнима с энергией массы покоя электрона (m_e = 0,511 МэВ), то кинетическая энергия β-частиц

.

(2.29.3)

Возведя в квадрат (2.29.2) получим

.

(2.29.4)

Подставив (2.29.4) в (2.29.3), а затем полученное выражение в (2.29.1), получим уравнение для нахождения Т_я:

.

(2.29.5)

Уравнение (2.29.5) приводится к квадратному уравнению, решение которого может быть получено обычным способом. Однако выражение решения очень громоздкое. Воспользуемся тем обстоятельством, что Т_я << Q + m_ec², и величиной Т_я в левой части уравнения (2.29.5) можно пренебречь. Тогда

эВ.

Подставив полученное значение Т_я в левую часть уравнения (2.29.5) из правой части этого уравнения можно найти более точное значение Т_я. Предлагаем читателю убедиться, что оно будет мало отличаться от полученного выше. Точное значение Т_я = 76,5 эВ.

Задача 2.30

Вычислить энергию γ-квантов, сопровождающих β-распад ядер ²⁸Al (см. рис. 2.30.1).

Решение

Согласно диаграмме распада дочернее ядро ²⁸Si всегда рождается в возбужденном состоянии. Энергия возбуждения дочернего ядра будет равна

Е_возб = [Δ(²⁸Al) – Δ(²⁸Si)]·931,5 – (T_β)_max =

= [0,023073 – 0,018092]·931,5 – 2,86 =

= 1,78 МэВ,

где (T_β)_max = 2,86 МэВ (см. табл. 1 Приложений) – максимальная энергия β-спектра.

С хорошей точностью можно считать, что энергия γ-квантов

Е_γ = Е_возб = 1,78 МэВ.

Задача 2.31

Изомерное ядро ⁸¹Se^m с энергией возбуждения 103 кэВ переходит в основное состояние, испуская или γ-квант, или конверсионный электрон с К­‑оболочки (энергия связи К-электрона 12,7 кэВ). Найти скорость ядра отдачи в обоих случаях.

Решение

Скорость ядра отдачи ⁸¹Se в обоих случаях можно найти, если известен его импульс

.

(2.31.1)

Закон сохранения энергии и импульса при радиоактивном преобразовании ядра ⁸¹Se^m в ⁸¹Se выражается следующей системой уравнений:

Учитывая, что Т_я = , из этой системы получим

Евозб = Ря·(с ).

(2.31.4)

Пренебрегая в (2.31.4) скоростью ядра отдачи по сравнению со скоростью света, имеем

.

Подставив полученное выражение для Р_я в (2.31.1) находим

.

Закон сохранения энергии и импульса для явления внутренней конверсии записывается в виде

Связь между кинетической энергией конверсионного электрона и его импульсом следующая:

Te = ,

или, если учесть (2.30.6) то

Te = .

Подставляя это выражение в (2.31.5) и выполнив несложные преобразования получим:

= Евозб – ЕК - Тя + mec2.

(2.31.7)

Величиной Т_я в (2.30.7) можно пренебречь. Тогда

(vя)К = = = = 1,26·103 м/с.

Задача 2.32

Свободное ядро с энергией возбуждения Е_возб = 129 кэВ переходит в основное состояние, испустив γ-квант. Найти изменение энергии γ-кванта относительно энергии возбуждения вследствие отдачи ядра.

Решение

По закону сохранения энергии и импульса

Из этих уравнений

.

(2.32.3)

Подставляя (2.32.3) в (2.32.1), получим

.

Поэтому, относительное изменение энергии γ-кванта

.

Задача 2.33

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер ¹⁹¹Ir, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ-квантов с энергией 129 кэВ.

Решение

Максимальное (резонансное) поглощение γ-квантов может наблюдаться только тогда, когда γ-квант передает ядру энергию, равную энергии возбуждения Е_возб. Но γ-квант уносит не всю энергию Е_возб возбуждения ядра, так как часть этой энергии Т_я передается на отдачу ядра, испустившего γ-квант:

Для возбуждения ядра до энергии Е_возб нужно поглотить g-квант с энергией

так как согласно закону сохранения импульса часть энергия g-кванта превращается в кинетическую энергию движения ядра. В результате энергии испущенного и поглощенного g-квантов не совпадают на величину 2Т_я и для наблюдения максимального (резонансного) поглощения необходимо чтобы излучающие и поглощающие ядра имели кинетическую энергию относительного движения, равную 2Т_я.

Согласно решению предыдущей задачи (см. формулу (2.32.3))

2Т_я = ,

а относительная скорость сближения источника и поглотителя равна

м/с.