Задачи для самостоятельного решения. Оценить плотность ядерного вещества ρ, концентрацию нуклонов n и плотность электрического заряда ρэ в ядре.

Задача 1.1

Оценить плотность ядерного вещества ρ, концентрацию нуклонов n и плотность электрического заряда ρ_э в ядре.

Решение

По определению, плотность вещества массой М, которое занимает объем V, равна

где m – масса частиц, из которых состоит тело (предполагаем, что частицы тождественны), а N – количество частиц в объеме V. Так как

есть концентрация частиц по определению, то из (1.1) и (1.2)

Для оценки примем, что ядро, состоящее из А нуклонов, имеет форму шара, радиус которого R(A) дается формулой (1.1). Тогда

,

Будем считать, что масса нуклона равна одной атомной единице массы, т.е. m = 1,66·10^-24 г,и окончательно получим

ρ = 1,66·10^-24·8,7·10³⁷ = 1,4·10¹⁴ г/см^-3= 1,4·10⁸ тонн/см^-3!

Плотность электрического заряда в ядре равна

где n_p- концентрация протонов в ядре. Если считать, что для устойчивых ядер число протонов в ядре равно числу нейтронов, то

Задача 1.2

В современной системе масс атомов за единицу массы а.е.м. принята 1/12 массы атома ¹²С (вместо старой единицы МЕ, равной 1/16

массы атома ¹⁶О). Найти связь между а.е.м. и МЕ. Как изменились численные значения масс атомов при переходе от старой единицы массы к новой.

Решение

Задачу удобно решать, используя избытки масс нуклидов:

1.2.1

так как по определению избыток масс атома ¹²С равен нулю. Подставив в (1.2.1) численное значение Δ(¹⁶О) их таблицы табл. 1 Приложений, получим

Таким образом, 1 а.е.м. численно стала больше 1 МЕ на 0,032 %, а численные значения масс атомов уменьшились на эту же величину.

Задача 1.3

Найти относительное содержание С_ат и С_м (атомное и массовое) нуклида¹³С в природном углероде, который состоит из нуклидов ¹²С и ¹³С. Атомные массы природного углерода и обоих нуклидов считать известными.

Решение

Из периодической системы химических элементов находим, что A_r(C) =12, 01115 а.е.м. Из табл. 1 Приложений находим, что избыток массы Δ(¹³С) = 0,003354 а.е.м. и A_r(¹³C) =13, 003354 а.е.м. По определению относительное атомное содержание изотопа С_ат есть доля атомов этого изотопа в полном числе атомов моля элемента природного изотопного состава. Тогда по определению

.

(1.3.1)

Учитывая, что

,

перепишем (1.3.1) в виде

,

и решим относительно С_ат(¹³C):

.

Учитывая, что массовое содержание изотопа С_м есть доля массы этого изотопа в моле элемента природного изотопного состава, сразу получаем

.

Задача 1.4

Найти с помощью формулы (1.3) энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус – в полтора раза меньший, чем радиус ядра ²⁷Al.

Решение

Чтобы воспользоваться формулой (1.3) необходимо определить A и Z искомого ядра. Предположим, что ядро имеет сферическую форму, а зависимость радиуса ядра от массового числа выражается формулой (1.1). Тогда

.

(1.4.1)

Решая уравнение (1.4.1), находим, что А = 8. Таким образом, N = Z = 4 и искомое ядро принадлежит нуклиду ⁸Be. Энергия связи этого ядра (необходимые избытки масс атомов взяты из табл. 1 Приложений):

Задача 1.5

Найти удельную энергию связи нуклидов ²Н, ⁶Li, ⁴⁰Ar, ¹⁰⁷Ag, ¹⁵²Dy (Δ = -0,075271 а.е.м.), ²³⁵U и построить график зависимости

Решение

По определению

.

(1.5.1)

Вычисления рекомендуется произвести самостоятельно. Для вычисления ΔW(A,Z) следует воспользоваться формулой (1.3) и данными из табл. 1 Приложений. Должны быть получены следующие результаты:

(²Н) = 2,23 МэВ, (⁶Li) = 5,33 МэВ, (⁴⁰Ar) = 8,60 МэВ, (¹⁰⁷Ag) = 8,55 МэВ, (¹⁵²Dy) = 8,11 МэВ, (²³⁵U) = 7,59 МэВ.

Полученная кривая дает примерные величины удельной энергии связи нуклона в МэВ/нуклон для β-стабильных нуклидов.

Задача 1.6

Определить: а) энергию связи нейтрона и α-частицы в ядре ²¹Ne; б) энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶О на четыре одинаковые частицы.

Решение

а) Устойчивое ядро ²¹Ne образуется при захвате нейтрона ядром ²⁰Ne. Энергия, которая выделяется в этом процессе, численно равна энергии связи нейтрона в ядре ²¹Ne:

Рассуждая подобным же образом, можно считать, что ядро образовалось при слиянии ядер и , а энергия связи α‑частицы в ядре ²¹Ne равна:

б)При разделении ядра на четыре одинаковых фрагмента образуются ядры с нуклонным составом (4,2), которые являются α-частицами. По общему правилу энергия разделения ядра ¹⁶О на четыре α‑частицы равна

ΔW_4α(¹⁶О) = [4Δ_α - Δ (¹⁶О)]·931,5 =

= [4·0,002604 + 0,005085] ·931,5 = 14,4 МэВ

Задача 1.7

Вычислить энергию связи нейтрона в ядре ¹⁴N, если известно, что энергии связи ядер ¹³N и ¹⁴N равны 94,10 и 104,66 МэВ.

Решение

Энергия связи нейтрона в ядре ¹⁴N равна:

Воспользуемся формулой (1.2) для выражения масс нуклидов ¹³N и ¹⁴N через энергию связи их ядер:

Подставив (1.7.2) и (1.7.3) в (1.7.1) получим, что

Задача 1.8

Найти энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶О на α-частицу и ядро ¹²С, если известно, что энергии связи ядер ¹⁶О, ¹²С и ⁴Не равны 127,62; 92,16 и 28,30 МэВ.

Решение

Выкладки, аналогичные тем, которые сделаны в задаче 1.8, приводят к следующему результату:

ΔW_α(¹⁶О) = ΔW(¹⁶О) - ΔW(⁴Не) - ΔW(¹²С) =

=127,62 – 92,16 – 28,30 = 7,16 МэВ.

Задача 1.9

Определить энергию, выделяющуюся при образовании двух α-частиц в результате синтеза ядер ²Н и ⁶Li, если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах ²Н, ⁴Не и ⁶Li равны 1,11; 7,08 и 5,33 МэВ соответственно.

Решение

Запишем схему процесса синтеза:

²Н + ⁶Li → ⁴Не + ⁴Не

По определению, энергия Q, которая освобождается в этом процессе, численно равна разности масс исходной и конечной систем:

Используя формулу (1.2) для выражения в (1.9.1) масс атомов через их энергию связи (проделать самостоятельно), получим

Q = 2ΔW(4He) - ΔW (2H) - ΔW(6Li) = = 2·4 (4Не) - 2 (2Н) - 6 (6Li) = = 2·4·7,08 - 2·1,11 - 6·5,33 = 22, 44 МэВ

Задача 1.10

Показать, что для ядра сферической формы с однородной плотностью электрического заряда энергия кулоновского отталкивания протонов U_кул = 0,6kZ²e²/R, где Z и R – заряд и радиус ядра, k – коэффициент пропорциональности, определяемый системой единиц. В СИ k = 9∙10⁹ м/Ф, в СГС k = 1.

Решение

Однородная плотность электрического заряда ядра

.

(1.10.1)

Работа, совершаемая против сил электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса r с зарядом

, r ≤ R,

(1.10.2)

при перемещении заряда dq из бесконечности в точку r будет равна

при условии, что φ_∞= 0. В (1.10.3) φ(r) – потенциал электрического поля, создаваемый зарядом q(r) на поверхности сферы радиуса r,

,

(1.10.4)

если использовать выражение (1.10.2).

Дифференцируя (1.10.2) по r, получим изменение заряда сферы при добавлении заряда :

.

(1.10.5)

Подставив (1.10.4) и (1.10.5) в (1.10.3), получим

.

(1.10.6)

Поскольку совершаемая работа увеличивает потенциальную энергию ядра, то dA = dU. Поэтому

.

(1.10.7)

Задача 1.11

Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер[1] и определяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов (см. формулу (1.10.7) в предыдущей задаче), вычислить их радиусы. Сравнить результаты с вычислением радиусов по формуле (1.1).

Решение

Разность энергий кулоновского отталкивания протонов в ядрах и согласно формуле (1.10.7) будет равна

.

(1.11.1)

В (1.11.1) принято, что в соответствии с (1.1) радиус ядра не зависит от Z и определяется только величиной массового числа А.

Из этого выражения находим, что

.

(1.11.2)

По условию задачи уменьшение энергии связи ядра относительно энергии связи ядра обусловлено большей энергией кулоновского отталкивания протонов в ядре при одинаковой энергии ядерного взаимодействия. Поэтому

Используя формулу (1.3) для ΔW(A,Z) вычислим ΔU_кул в (1.11.3):

Подставляя полученное значение ΔU_кул= 4,85 МэВ в (1.1,1.2), определим величину R:

Расчет величины R (выполнить самостоятельно) по формуле (1.1) дает 4·10^-13см, что хорошо согласуется с найденной выше величиной радиуса ядра.

Задача 1.12

Вычислить с помощью полуэмпирической формулы (1.4): а) энергии связи ядер ⁴⁰Са и ¹⁰⁷Ag; б) энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg; в) массы атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn.

Решение

а) У ядра⁴⁰Са Z =20, поэтому четвертый член в формуле (1.4) равен нулю, а пятый следует взять со знаком плюс. Тогда

Справочные значения искомых величин: 342,06 и 915,27 МэВ.

б) Этот пункт рекомендуется проделать самостоятельно.

Указание: для вычисления энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg необходимо с помощью формулы (1.4) найти полную энергию связи этих ядер и разделить ее на соответствующее массовое число (см. формулу (1.5.1)). Должны быть получены следующие значения: 8,65 и 7,81 МэВ. Табличные значения: 8,70 и 7,91 МэВ.

в) Массы атомов выразим из формулы (1.2):

Подставив в (1.12.1) энергию связи из формулы (1.4) получим рабочую формулу для нахождения масс атомов:

(1.12.2)

Вычисления масс атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn по формуле (1.12.2) (проделать самостоятельно) дают следующие значения: 44,955 и 69,932 а.е.м. Справочные значения: 44,956 и 69,925 а.е.м.

Задача 1.13

Определить с помощью формулы (1.4) заряд ядра, имеющего наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А. Предсказать с помощью полученной формулы характер активности (электронная или позитронная) следующих β-активных ядер: ¹⁰³Ag; ¹²⁷Sn и ¹⁴¹Cs.

Решение

Согласно формуле (1.12.1) ядрам с наибольшей энергией связи отвечает наименьшая масса. Поэтому для ядер изобаров (нуклидов с одинаковыми массовыми числами А) всегда имеется ядро с Z₀, имеющее наименьшую массу. Для нахождения Z₀ вычислим частную производную от (1.12.2) и результат приравняем нулю:

(1.13.1)

Подставив в (1.13.1) массу атома Н и массу нейтрона в а.е.м., и решая относительно Z₀, получим

.

(1.13.2)

Если для заданного нуклида (A,Z) расчет по формуле (1.13.2) дает Z₀ > Z, то для увеличения Z ядро должно испытывать β^--распад, если же Z₀ < Z, то β⁺-распад.

Ядро ¹⁰³Ag: Z =47, а

.

Следовательно, Z₀ < Z и ядро ¹⁰³Ag должно испытывать β⁺-распад.

Ядро ¹²⁷Sn: Z = 50, а

.

Следовательно, Z₀ > Z и ядро ¹²⁷Sn должно испытывать β^--распад.

Ядро ¹⁴¹Cs: Z = 55, а

.

Следовательно, Z₀ > Z и ядро ¹⁴¹Cs должно испытывать β^--распад.

Задача 1.14

Сколько компонент сверхтонкой структуры имеют в основном состоянии следующие атомы: ³H(²S_1/2); ⁶Li(²S_1/2); ⁹Be(¹S₀); ¹⁵N(⁴S_3/2) ³⁵Cl(²P_3/2). В скобках указан основной терм электронной оболочки.

Решение

Число N линий сверхтонкого расщепления оптических спектров будет равно (в соответствии с (1.5)) 2I + 1, если J ≥ I; или 2J + 1, если J < I. С помощью табл. 1 Приложений устанавливаем спины I ядер, а с помощью термов электронной оболочки – механические моменты J электронной оболочки соответствующего атома. Построим следующую таблицу, которая дает ответ на поставленные вопросы:

Задача 1.15

Определить спин ядра ⁵⁹Со, основной терм атома которого ⁴F_9/2 содержит восемь линий сверхтонкого расщепления.

Решение

Механический момент J атома ⁵⁹Со равен 9/2, как следует из приведенного терма. Значит (см. предыдущую задачу 1.14), если J < I, то число линий сверхтонкого расщепления должно быть равно 2J + 1 = 2(9/2) + 1 = 10. Поскольку имеем восемь линий, то заключаем, что J > I и 2I + 1 = 8, откуда I = 7/2.

Задача 1.16

Терм ²D_3/2 атома ²⁰⁹Bi имеет четыре линии сверхтонкого расщепления, причем отношение интервалов между соседними линиями равно 6 : 5 : 4. Найти с помощью правила интервалов спин ядра, а также число компонент сверхтонкого расщепления линии .

Решение

Если предположить, что J ≥ I, то 2I + 1=4, откуда I = 3/2, т.е. совпадает с J. Поэтому можно только утверждать, что I ≥ 3/2 и необходима дополнительная информация. Воспользуемся правилом интервалов (рис. 1.16.1). Интервалом называется расстояние между двумя соседними линиями сверхтонкого расщепления, выраженное в разности частот, или энергий. Согласно этому правилу (см. рис. 1.16.1)

(1.16.1)

Для I = J = 3/2 правило интервалов дает отношение

,

которое оказывается меньше, чем по условию задачи. Отсюда следует, что I > 3/2. Поэтому для определения спина ядра I нужно решить уравнение

,

из которого получаем I = 9/2.

Задача 1.17

Отношение интенсивностей линий сверхтонкого расщепления при переходе ²P_1/2 → ²S_1/2 атома натрия равно приблизительно 10 : 6. Имея в виду, что сверхтонкая структура вызвана расщеплением терма ²S_1/2 (расщепление терма ²P_1/2 ничтожно мало), найти спин ядра ²³Na.

Решение

Отношение интенсивностей линий сверхтонкого расщепления равно отношению статистических весов (1.6) появления каждого из возможных значений вектора (подуровней расщепления):

.

Из этого уравнения находим, что I = 3/2.

Задача 1.18

С помощью модели ядерных оболочек (рис. 1.1) написать конфигурацию основных состояний ядер: ⁶Li, ¹³C и ²⁵Mg.

Решение

Для обозначения суммарного орбитального момента L электронов в атомных термах используют заглавные буквы S(L = 0), P(L = 1), D(L = 2), F(L = 3), . . . и далее латинский алфавит. При обозначении орбитального момента l нуклона в ядре используют строчные буквы s(l = 0), p(l = 1), d(l = 2), f(l = 3), . . , и далее латинский алфавит. Во всем другом запись атомных термов и состояний нуклонов в ядрах совпадают.

Ядро . В состоянии 1s_1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии 1p_3/2 – один протон и один нейтрон. Следовательно, конфигурация основного состояния ядра записывается следующим образом: (1s_1/2)⁴(1p_3/2)², где верхние правые индексы указывают число нуклонов в данном состоянии.

Ядро . В состоянии 1s_1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии 1p_3/2 – четыре протона и четыре нейтрона и в состоянии 1p_1/2 – один нейтрон. Следовательно, ядро в основном состоянии имеет следующую конфигурацию: (s_1/2)⁴(p_3/2)⁸p_3/2.

Ядро . В состоянии 1s_1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии 1p_3/2 – четыре протона и четыре нейтрона, в состоянии 1p_1/2 – два протона и два нейтрона и в состоянии 1d_5/2 – четыре протона и пять нейтронов. Следовательно, ядро в основном состоянии имеет следующую конфигурацию: (s_1/2)⁴(p_3/2)⁸(p_3/2)⁴(d_5/2)⁹.

Задача 1.19

Определить с помощью модели ядерных оболочек спины и четности основных состояний ядер: .

Решение

При решении задачи будем руководствоваться следующими правилами, которые являются следствиями из модели оболочек:

1. Суммарный механический момент нуклонов одного рода в заполненных оболочках равен нулю.

2. Один из «лишних» нуклонов, сверх заполненного уровня, имеет механический момент следующего уровня и определяет спин и четность ядра.

3. Один из «недостающих» до заполнения уровня нуклон («дырка») имеет механический момент этого уровня и определяет спин и четность ядра.

4. Нуклоны одного уровня объединяются в пары с нулевым механическим моментом.

Для решения задачи необходимо иметь перед глазами схему уровней, получаемых с помощью модели ядерных оболочек.

Ядро . Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1р_1/2. Лишний нейтрон находится на уровне 1d_5/2. Поэтому спин ядра I = 5/2. Орбитальный момент лишнего нуклона l = 2. Следовательно, четность ядра

P = (‑1)^l = (-1)² = +1.

Ядро . Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1d_1/2 Лишний нейтрон находится на уровне 2s_1/2. Поэтому спин ядра I = 1/2. Орбитальный момент лишнего нуклона l = 0. Следовательно, четность ядра

P = (‑1)^l = (-1)⁰ = +1.

Ядро . Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1d_3/2. Недостает одного протона («дырка») до заполнения уровня 1d_3/2. Орбитальный момент дырки l = 2. Следовательно, спин ядра I = 3/2, а четность

P = (‑1)^l = (-1)² = +1.

Ядро . Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни, включая 1d_3/2, но имеется один нуклон на уровне 1f_7/2. Орбитальный момент лишнего нуклона l = 3. Следовательно, спин ядра I = 7/2, а четность

P = (‑1)^l = (-1)³ = -1.

Ядро . Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни, включая 1f_7/2, но имеется один протон на уровне 1p_3/2. Следовательно, спин ядра I = 3/2, а четность

P = (‑1)^l = (-1)¹ = -1.

Задача 1.20

Некоторые ядра обладают квадрупольным электрическим моментом Q, что указывает на отклонение распределения заряда от сферически симметричного. Для определенности полагают форму ядра в виде эллипсоида вращения с полуосями b (по спину ядра) и а (перпендикулярно спину ядра). Оценить степень несферичности ядра , имеющего одно из наибольших значений квадрупольного момента Q = +6·10^-24 см². Для оценки вычислить отношение b/a.

Решение

Для ядра, имеющего форму эллипсоида вращения с однородной объемной плотностью электрического заряда, квадрупольный электрический момент равен

,

откуда

.

(1.20.1)

Объем эллипсоида вращения

.

Приравниваем этот объем объему недеформированного ядра сферической формы (ядерное вещество несжимаемо!) с таким же числом нуклонов и радиусом, даваемый формулой (1.1), получим уравнение

см³,

или

.

(1.20.2)

Подставив (1.20.2) в (1.20.1) получаем кубическое уравнение для нахождения величины b. После нахождения b с помощью (1.20.2) определяется величина а. Однако такой способ решения сложен и трудоемок. Значительно проще решать систему уравнений

(1.20.3)

методом последовательных приближений. В качестве первого приближения полагаем, что

b = R_я = 1,4·10^-13·A^1/3 = 1,4·10^-13·181^1/3 ≈ 8·10^-13 см.

Подставляем это значение во второе уравнение системы (1.20.3) и находим первое приближение для а². Затем, полученное значение а² подставляем в первое уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближения для b, которое подставляем во второе уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближение для а², и т.д. Процесс быстро сходится, и в результате получаем b = 8,78·10^-12 см; а = 7,52·10^-13 см.

Окончательно, искомое отношение

.

Задача 1.21

Определить значения изоспина Т основных состояний ядер изотопов углерода ¹⁰C, ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

Решение

В основном состоянии ядра значение изоспина совпадает с модулем проекции изоспина Т = | Т_z |. Проекция изоспина Т_z ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна

,

(1.22.1)

то есть для основных состояний ядер Т = |Z - N|/2.

Следовательно, значение изоспина будет равно:

для ¹⁰C - I = (6 – 4)/2 = 1,

для ¹¹C - I = (6 – 5)/2 = 1/2,

для ¹²C - I = (6 – 6)/2 = 0,

для ¹³C - I = (7 – 6)/2 = 1/2,

для ¹⁴C - I = (8 – 6)/2 = 1.

Задачи для самостоятельного решения.

1.22. Оценить, во сколько раз объем ядра ²³⁸U больше объема ядра ⁴Не. Каковы размеры этих ядер и как соотносятся их радиусы?

1.23. Оценить среднее расстояние между центрами нуклонов в ядре, считая, что ядро имеет сферическую форму.

1.24. Природный хлор состоит из двух нуклидов: ³⁵Cl и ³⁷Cl. Атомное содержание нуклида С_ат(³⁵Cl) = 75,53%. Найти атомную массу природного хлора.

1.25. Сравнить дефект массы δ ядра ¹²С в а.е.м. с избытком масс Δ этого нуклида. Чем объясняется различие этих величин?

1.26. Найти энергию связи α-частицы в ядре ⁴⁰Са. A_r(⁴⁰Ca) = 39,96259 а.е.м.

1.27. Определить энергию, которая высвобождается при синтезе ядер ⁴Не из ядер дейтерия и свободных нуклонов.

1.28. Вычислить удельную энергию связи для нуклидов ²Н, ³Н, ³Не, ⁴Не, ⁶Li, ⁸Be, ¹²C, ¹⁶О и ¹⁷F. Изобразить графически полученную зависимость от массового числа и объяснить результаты.

1.29. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,249 МэВ. Какому нуклиду принадлежит это ядро? Определить в а.е.м. массу ядра этого нуклида. Учесть, что масса протона m_p = 938,26, а масса нейтрона m_n = 939,55 МэВ.

1.30. Какую наименьшую энергию надо затратить, чтобы удалить из ядра ¹⁴N один из протонов или один из нейтронов.

1.31. Определить разность энергий связи нейтрона и протона в ядре ¹⁰В. Объяснить причину различия их энергии связи.

1.32. Как отличается энергия отделения одного нейтрона от ядра ⁹Ве и удельная энергия связи этого ядра.

1.33. Считая, что различие энергий связи ядер изобаров ¹³N и ¹³С обусловлено только кулоновской энергией взаимодействия между протонами, найти энергию, выделяющуюся в процессе

¹³N → ¹³С + β⁺ + ν.

Указание. Массу нейтрино считать равной нулю. Воспользоваться данными, полученными в задаче 1.10. (Ответ: Q = (m_p – m_n) - m_e + 0,6ke²[Z²(¹³N)- Z²(¹³С)]/R).

1.34. Для ядра ⁴¹Sc определить с помощью формулы Вейцзеккера (1.4): а) энергию отделения нейтрона; б) энергию отделения протона. В чем причина столь большого различия этих величин?

1.35. Используя формулу Вейцзеккера (1.4), предсказать нуклиды, устойчивые по отношению к β-распаду для изобаров с массовыми числами 20, 40, 80, 120 и 200. Для найденных нуклидов построить зависимость Z(N) (т.н. «дорожку стабильности»).

1.36. Какой тип β-распада испытывает нуклид ¹³⁵Те? Какая энергия при этом выделяется? Задачу решить, используя формулу Вейцзеккера (1.4).

1.37. С помощью формулы Вейцзеккера (1.4) определить радиус R ядра ¹⁰⁹Ag и константу r₀ в формуле (1.1).

Указание. Использовать формулу (1.10.7).

1.38. Определить спин ядра, если при переходе атома из состояния ³P₀ в ³S₁ наблюдается две линии сверхтонкого расщепления.

1.39. Атом ²⁰⁹Bi находится в состоянии ²D_1/2. Спин его ядра I = 9/2. Вычислить квантовые числа вектора суммарного момента атома, где - полный механический момент электронной оболочки.

1.40. Найти величину изотопического спина и его проекции для ядер ¹Н, ²Н, ³Не и ⁴Не.

1.41. Используя модель атомных оболочек вычислить спины основных состояний ядер ⁷Li, ¹⁵N, ³²S, ³⁹K. Сравнить полученные значения с табличными и определить четности волновых функций этих ядер в основном состоянии.

Ответы

1.22. 60 раз. R(²³⁸U)/R(⁴He) = 4. 1.23. ~2 Фм. 1.24. 35,460 а.е.м. 1.25. 0,098940 а.е.м. 1.26. 7,044 МэВ. 1.27. 4,45 МэВ. 1.28. 1,11; 2,83; 2,57; 7.07; 5,33; 7,06; 7.68; 7,98 и 7,54 МэВ. 1.29. 7,014360 а.е.м. 1.30. S_р = 7,55 МэВ; S_n = 10,55 МэВ. 1.31. 1,85 МэВ. 1.32. 10,19 МэВ. 1.33. 1,6 МэВ. 1.34. а) 16,42 МэВ; б) 1,76 МэВ. 1.35. 10, 19, 35, 51, 80. 1.36. β^‑-распад; 4,8 МэВ. 1.37. R = 7,1 Фм; r₀ = 1,5 Фм. 1.38. I = 1/2. 1.39. F = 5; 4. 1.40. 1/2; +1/2; 0; 1/2; +1/2; 0. 1.41. 3/2^­ ; 1/2^- ; 0⁺ ; 3/2⁺.