Статистика регистрации ядерного излучения

Задача 2.34

В результате активации образовалось N₀ = 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точно 5 ядер за время t = Т_1/2?

Решение

Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим

Задача 2.35

Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10,0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 и 5 импульсов.

Решение

Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точно n_i импульсов будет равно

N (n_i) = N·P(n_i),

где P(n_i) - вероятность появления точно n_i импульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.

Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N₀ и время t каждого измерения. Но величины N₀и t неизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случае n << N₀и t << T_1/2 биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда

N (n_i) = N ,

N (n₁) = 2000 76;

N (n₂) = 2000 .

Задача 2.36

Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100,0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин. И вероятность того, что абсолютное отклонение от среднего числа имеет значение, большее 5,0 имп./мин.

Решение

Согласно условию задачи предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, так как связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:

(2.36.1)

Тогда

Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и до равняется единице. Тогда

(2.36.2)

Используя формулу (2.36.1), вычислим

Таким образом,

Задача 2.37

Вычислить вероятность получения абсолютной погрешности измерения, превосходящей: а) σ и б) 2σ, где σ – среднеквадратичная погрешность.

Решение

Предполагаем, что случайная величина имеет нормальный закон распределения. Тогда искомая вероятность будет равна

(2.37.1)

Если в интеграле произвести замены:

то получим

где Ф(α) – интеграл ошибок, который не выражается в элементарных функциях и значения которого можно найти в подробных таблицах. Для поставленной задачи α =1 и α = 2 и соответственно: Ф(1) = 0,683; Ф(2) = 0,955.

Задача 2.38

Счетчик, находящийся в поле исследуемого излучения, зарегистрировал 3600 импульсов за 10 мин. Найти: а) среднюю квадратичную погрешность в скорости счета; б) продолжительность измерения, обеспечивающую определение скорости счета с погрешностью 1,00%.

Решение

По определению средняя скорость счета

Погрешность измерения числа импульсов является принципиально неустранимой, так как вызвана статистическим характером распада большого числа радиоактивных ядер. Измерение же времени обычно выполняется с относительной погрешностью, существенно меньшей, чем при измерении числа импульсов, и потому ее величиной можно пренебречь. Тогда, если предположить, что условия применения распределения Пуассона выполнены, можно воспользоваться формулой (2.10) и

Относительная погрешность измерения числа импульсов

Следует отметить, что эта погрешность соответствует доверительной вероятности 68%. Если использовать значение доверительной вероятности 95%, как принято в настоящее время, то полученную величину надо удвоить (см. предыдущую задачу):

Тогда число импульсов, которое необходимо зарегистрировать для получения заданной относительной точности с доверительной вероятностью 95%, составит

Необходимое время измерений составит

Задача 2.39

При изучении интенсивности исследуемого облучения (вместе с фоном) счетчик зарегистрировал 1700 имп. за 10,0 мин. Отдельное измерение фона дало 1800 имп. за 15,0 мин. Найти скорость счета, имп./мин, обусловленную исследуемым облучением, и ее среднюю квадратичную погрешность.

Решение

Фоном принято называть излучение, не связанное с исследуемым излучением, действие которого на счетчик не представляется возможным исключить. Поэтому

Средняя квадратичная погрешность искомой скорости счета будет равна, согласно (2.9) и (2.12):

Задача 2.40

Скорость счета импульсов от фона составляет 15 имп./мин, а скорость счета от исследуемого препарата и фона составляет 60 имп./мин. Пусть t_ф и t_иф – время измерения фона и исследуемого препарата при наличии фона. Найти оптимальное отношение t_ф/t_иф, при котором точность определения скорости счета от самого препарата будет максимальной для заданного полного времени t_ф + t_иф.

Решение

;

(2.40.1)

Для нахождения отношения t_ф/t_иф, которое отвечает минимальному значению σ_и, вычислим полный дифференциал от (2.40.1) и приравняем его к нулю. Имеем

(2.40.2)

Из условия следует, что

(2.40.3)

Подставив (2.30.3) в (2.40.2), получим

Задача 2.41

Счетчик Гейгера-Мюллера с разрешающим временем τ = 0,20 мс зарегистрировал 3,0·10⁴ имп./мин. Оценить среднее число частиц, прошедших через счетчик в мин.

Решение

Любой счетчик ядерного излучения после регистрации попавшей частицы затрачивает некоторый промежуток времени τ для восстановления своих свойств. Время τ – время восстановления является одной из основных характеристик счетчика ядерных частиц. Если в течение этого промежутка времени в счетчик попадает частица, то она не может быть зарегистрирована. Рисунок поясняет это явление. Частицы 1, 2, 4 будут зарегистрированы, а частица 3 – нет (просчитана), так как она попала в счетчик в интервал времени τ восстановления свойств счетчика.