Примеры решения задач. 6.2.1 В электрической цепи, схема которой показана на рис
6.2.1 В электрической цепи, схема которой показана на рис. 6.6, происходит коммутация. Найти зависимость токов ветвей и напряжения индуктивной катушки от времени при переходном процессе.
Исходные данные U = 50 B, R1 = R2 = 100 Ом, L = 0,5 Гн.
Расчет переходных процессов в цепи будем выполнять согласно алгоритму, приведен-ному выше.
Покажем положительные направления токов и напряжений на элементах электрической цепи.
Электрическая цепь содержит индуктивную катушку, начальное значение тока которой определяется по первому закону коммутации. Поэтому определение переходных функций начнем с нахождения тока индуктивной катушки iL(t). Остальные переходные функции найдем, используя законы Ома и Кирхгофа для мгновенных значений:
, 
, 
.
До замыкания ключа электрическая цепь была отключена от источника напряжения, и токи во всех ветвях отсутствовали. То есть в докоммутационной цепи ток индуктивной катушки iL(0-) = 0.
Согласно первому закону коммутации ток индуктивной катушки в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению iL(0+) = iL(0-) = 0.
Искомая переходная функция тока представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей:
i L(t) = iLсв(t) + iLпр.
Найдем принужденное значение тока катушки. Для этого рассчитаем величину тока в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.7). В цепи постоянного тока в установившемся режиме идеальная индуктивная катушка представляет собой участок цепи с сопротивлением равным нулю, напряжение на зажимах которого так же равно нулю uLпр = 0. Так как катушка и резистор R2 соединены параллельно, то есть напряжения на их зажимах одинаковы и равны нулю, то и принужденное значение тока второй ветви i2пр= 0.
Принужденный ток катушки:
iLпр= i1пр=U/R1=50/100=0,5 А.
Для определения свободной составляющей необходимо составить характеристическое уравнение и найти его корни.
Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления Z(p) пассивной части цепи после коммутации (рис. 6.8). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а индуктивная катушка операторным сопротивлением Lp. Наиболее целесообразно размыкать цепь на участке, который содержит реактивный элемент. В нашем случае находим входное сопротивление относительно разомкнутых зажимов ветви, содержащей индуктивную катушку:
.
Приравняв полученное выражение нулю, получим характеристическое уравнение:
, которое имеет один корень 
.
Свободную составляющую тока катушки запишем 
. Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим искомую функцию тока
iL(t) = iLсв(t) + iLпр = 
в момент времени t = 0+:
iL(0+)=А+0,5.
Так как согласно закону коммутации iL(0+) = 0, то получим уравнение А + 0,5 = 0, откуда найдем значение постоянной интегрирования А = –0,5 (А).
Переходная функция тока катушки iL(t) = –0,5е-100t+0,5 (А).
Напряжение индуктивной катушки:
Ток второй ветви:
(А).
Входной ток: =
= (–0,5е-100t + 0,5) + 0,25е-100t = –0,25e-100t + 0,5 (A).
Временные зависимости токов и напряжения индуктивной катушки показаны на рис. 6.9, 6.10, 6.11. График переходного процесса строится на промежутке времени t = 5τ, так как за это время свободная составляющая переходной функции практически становится равной нулю и переходный процесс завершается. Постоянная времени τ = 1/|р| = 1/100 = 0,01 с.
6.2.2 В электрической цепи, схема которой показана на рис. 3.12, происходит коммутация. Найти зависимость от времени токов ветвей и напряжения конденсатора при переходном процессе.
Исходные данные: U = 100 B, R1 = R2 = 100 Ом, С = 10 мкФ.
На схеме указаны положительные направления токов и напряжений на всех элементах электрической цепи.
Электрическая цепь содержит конденсатор, начальное значение напряжения на котором определяется по второму закону коммутации. Поэтому определение переходных функций начнем с нахождения напряжения конденсатора uC(t). Остальные переходные функции найдем, используя законы Ома и Кирхгофа для мгновенных значений:
, 
, 
.
До замыкания ключа электрическая цепь была отключена от источника напряжения, токи во всех ветвях отсутствовали и конденсатор не был заряжен. То есть в докоммутационной цепи напряжение конденсатора uC(0-) = 0.
Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению uC(0+)=uC(0-)=0.
Искомая переходная функция напряжения конденсатора представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей:
u C(t) = uCсв(t) + uCпр.
Для определения принужденной составляющей рассчитаем установившееся значение напряжения конденсатора в схеме после коммутации (рис. 6.13). При составлении схемы для расчета принужденных значений необходимо помнить, что в установившемся режиме в цепи постоянного тока конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи.
В ветви с конденсатором ток не протекает iСпр = 0, входной ток равен току второй ветви и определяется по закону Ома:
i1пр= i2пр= 
.
Напряжение конденсатора равно напряжению второй ветви, которая соединена с ним параллельно:
.
Для составления характеристического уравнения найдем входное сопротивление Z(p) пассивной части схемы относительно любых разомкнутых зажимов. Источник напряжения заменим короткозамкнутым участком цепи, конденсатор – операторным сопротивлением 1/рС, а цепь разомкнем в той ветви, которая содержит конденсатор (рис. 6.14). Найдем операторное сопротивление:
.
Приравняв полученное выражение к нулю,
,
получим характеристическое уравнение: 105 + 50р = 0.
Полученное уравнение имеет один корень р = –2000 1/с.
Свободная составляющая состоит из одного слагаемого и находится как 
.
Определим постоянную интегрирования В. Для этого, рассмотрим искомую функцию напряжения:
u C(t)=uCсв(t)+uCпр= 
в момент времени t=0+:
u C(0+)= 
.
Согласно закону коммутации начальное значение напряжения конденсатора uC(0+) = 0.
Получим уравнение = 0, и найдем постоянную интегрирования В = –50 В.
Искомая переходная функция:
u C(t) = 
(В).
Определим переходные функции токов ветвей:
Временные зависимости полученных переходных функций построены на рис. 6.15 и 6.16. Время переходного процесса: tпп = 5τ = 5/|р| = 5/2000 = 0,0025 с.
6.2.3 Катушка, индуктивность которой LК = 5 Гн и активное сопротивление RК = 4 Ом, отключается от источника постоянной ЭДС, напряжение которого UЕ = 110 В и замыкается на разрядный резистор сопротивлением R1 = 6 Ом (рис. 6.17). Найти значение тока для момента времени t=1с после отключения катушки. Определить напряжение на резисторе R1 в начальный момент после коммутации.
Когда переключатель находился в положении Ι, в цепи протекал постоянный ток 
После коммутации, то есть перевода переключателя в положение II, катушка отключается от источника питания и поэтому принужденное значение её тока будет равно нулю.
Переходная функция тока катушки имеет только свободную составляющую: 
,
где постоянная времени:
Найдем постоянную интегрирования А. Так как согласно первому закону коммутации, ток в катушке не может изменяться скачком, то в момент переключения t = 0:
Выражение для переходного тока имеет вид:
При t = 1 с ток катушки 
График переходного тока катушки показан на рис. 6.18.
Напряжение на разрядном реpиcторе R1 в начальный момент после коммутации 
то есть оно оказалось выше напряжения источника питания, так как R1 > RК. Указанное обстоятельство следует иметь в виду при коммутации цепей, содержащих индуктивные элементы, так как возникающие при этом перенапряжения могут вывести из строя аппаратуру.
6.2.4 Построить зависимость переходного напряжения на конденсаторе от времени в цепи рис. 6.19 при поочередном переключении выключателя в положения I и II. Напряжение UBX = 5 В, R1 = 75 Ом, R2 = 25 Ом, С = 1 мкФ. Коммутация начинается с установки выключателя в положение I, время зарядки и разрядки конденсатора t = 4τ.
При установке переключателя в положение I в цепи возникает ток и конденсатор заряжается в течение времени tзар = 4τ1 = 4R1C = 300 мкс.
Переходное напряжение на конденсаторе увеличивается по экспоненциальному закону:
и через 300 мкс, то есть к моменту переключения выключателя в положение II, напряжение достигнет значения:
После установки выключателя в положение II начинается разрядка конденсатора от значения 
, которая будет продолжаться в течении времени tзар = 4τ2 = 4R2C = 100 мкс. При этом напряжение на конденсаторе будет изменяться в соответствии с экспоненциальной зависимостью 
.
 |
Через 100 мкс оно снизится до 0,088 В. Кривая изменения напряжения на конденсаторе показана на рис. 6.20.
6.2.5 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.21, происходит коммутация. Построить переходные функции напряжения и тока конденсатора. Данные для расчета Е = 20 В, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом, С = 10 мкФ.
Определим, пользуясь заданным алгоритмом расчета переходных процессов, функцию изменения во времени напряжения конденсатора u C(t)=uCсв(t)+uCпр.
Ток конденсатора рассчитаем по закону Ома, записанному для мгновенных значений: .
В установившемся докоммутационном режиме в ветви с конденсатором ток отсутствует и в цепи (рис. 6.22) в параллельных ветвях протекают токи:
Напряжение конденсатора в докоммутационной цепи найдем по второму закону Кирхгофа:
Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора не может измениться скачком, поэтому начальное значение этого напряжения будет равно его докоммутационному значению:
uC(0+) = uC(0-)= –5 В.
Принужденное значение напряжения конденсатора определим, рассчитав токи и напряжения в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.23). Ток в четвертом резисторе отсутствует и в цепи протекает только ток:
Тогда напряжение конденсатора:
Составим характеристическое уравнение. Для этого найдем входное сопротивление пассивной части схемы после коммутации относительно разомкнутых зажимов ab (рис. 6.24). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а конденсатор операторным сопротивлением 1/Сp:
.
Откуда 
Характеристическое уравнение имеет один корень:
р = –2857 1/с,
поэтому свободную составляющую напряжения запишем как:
.
Определим постоянную интегрирования В. Для этого, рассмотрим искомую функцию напряжения:
u C(t) = uCсв(t) + uCпр = 
в момент времени t = 0+:
u C(0+) = 
.
Начальное значение напряжения конденсатора uC(0+) = –5 В. Получим уравнение = –5, и найдем постоянную интегрирования В = –15 В.
Искомая переходная функция напряжения:
u C(t) = 
(В).
Определим переходную функцию тока в ветви с конденсатором:
Графики переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 6.25.
6.2.6 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.26, происходит коммутация. Построить переходные функции напряжения и тока индуктивной катушки.
Данные для расчета Е = 30 В, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, L = 1 мГн.
Определение переходных функций начнем с нахождения тока индуктивной катушки iL(t). Напряжение на ее зажимах найдем, с помощью закона Ома для мгновенных значений:
.
Учитывая, что в цепи постоянного тока в установившемся режиме идеальная индуктивная катушка представляет собой участок с сопротивление равным нулю, легко определить ток катушки в схеме до коммутации (рис. 6.27):
Согласно первому закону коммутации ток индуктивной катушки в момент коммутации не может измениться скачком и в первый момент остается равным докоммутационному значению
iL(0+) = iL(0-) = 3 А.
Искомая переходная функция тока представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей i L(t) = iLсв(t) + iLпр.
Найдем принужденное значение тока катушки. Для этого рассчитаем величину тока в установившемся режиме в цепи после коммутации (рис. 6.28). Так как индуктивная катушка представляет собой короткозамкнутый участок цепи, то ток в резисторе R3 отсутствует, а ток катушки определим, как:
Составим характеристическое уравнение путем определения входного сопротивления Z(p) пассивной части цепи после коммутации (рис. 6.29). В рассматриваемой цепи источник напряжения заменяется короткозамкнутым участком, а индуктивная катушка операторным сопротивлением Lp. Находим входное сопротивление относительно разомкнутых входных зажимов цепи:
Характеристическое уравнение 1,5·10-2р + 50 = 0 имеет один корень: р = –3333 1/с.
Свободную составляющую тока катушки запишем:
.
Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим искомую функцию тока: iL(t)=iLсв(t)+iLпр= 
в момент времени t = 0+:
iL(0+)=А+6.
Так как согласно закону коммутации iL(0+) = 3 А, то получим уравнение А + 6 = 3, откуда найдем значение постоянной интегрирования А = –3 (А).
Переходная функция тока катушки: iL(t)= –3е-3333t+6 А.
Напряжение индуктивной катушки:
Графики переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 6.30.
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 3699;