Приведение квадратичных форм к главным осям.

Рассмотрим квадратичную форму . Матрица A является симметричной. Линейное преобразование, заданное матрицей A, является самосопряженным и для этого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Другими словами, найдется ортогональная матрица T ( ), что , где - собственные числа A. Поскольку , то квадратичная форма ортогональной заменой переходит в форму . Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием называется приведением к главным осям. Полученный факт оформим в виде теоремы.

Теорема 9.1. Квадратичная форма при помощи ортогонального преобразования всегда может быть приведена к канонической форме , де - собственные числа A.

Отметим, что для квадратичной формы выполняется закон инерции. Следовательно, используя теорему Якоби, можно определить число положительных и число отрицательных собственных значений. Собственные значения матриц A и A-tE отличаются на t, поэтому, определяя число положительных и отрицательных собственных значений матрицы A-tE, мы, тем самым, определим количество собственных значений матрицы A меньших t. Выбирая различные t можно найти собственные числа с любой точностью.

 








Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 1022;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.