Примеры решения задач. 1. Колебания гармонического осциллятора являются очень важным примером периодического движения
Колебания и волны
1. Колебания гармонического осциллятора являются очень важным примером периодического движения. К числу классических систем, аналогичных гармоническому осциллятору, относятся любые системы , которые, будучи слегка выведены из положения равновесия, совершают устойчивые колебания. К ним относятся:
- Математический маятник в пределах малых углов отклонения.
- Масса на пружине в пределах малых амплитуд колебаний
- Колебательный контур , состоящий из конденсатора и катушки
Частота колебаний осциллятора не зависит от амплитуды.
Математический маятник состоит из материальной (∙) массой m, расположенной на нижнем конце невесомого стержня длиной L, свободно вращающегося вокруг оси, проходящей через верхний конец.
Выведем уравнение колебаний маятника. Проще всего записать уравнение F=ma, однако поучительнее будет решить поставленную задачу через закон сохранения энергии. Отклонение маятника определяется углом , который стержень образует с вертикалью.
(1)
Потенциальная энергия маятника
U( )=Mgh (2)
(3)
Кинетическая энергия маятника равна
(4)
Полная энергия маятника равна
(5)
Принимая во внимание, что (6)
(7)
Решая это уравнение относительно находим
(8)
При . Тогда из (7) получим с учетом того, что :
, (9)
Тогда (8) перепишется в виде:
(10)
Или (11)
Этот вид удобен для интегрирования. Если начальные условия таковы, что при , то
(12)
(13)
Так как , то (13) запишется
(14)
Или (15)
Где - круговая частота
-фаза
Период колебаний математического маятника
пружинного
колебательного контура
Примеры решения задач
1. Материальная точка массой 5 г. колеблется согласно уравнению . Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию.
Решение
Сила, действующая на материальную точку, равна . Ускорение может быть найдено как вторая производная смещения по времени. Первая производная . Вторая производная . Максимальное значение косинуса -1, и
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 602;