5 страница. и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания.

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания.

Дифференциальные уравнения делятся на "обыкновенные", содержащие
производные одной или нескольких функций одного независимого
переменного, и "уравнения с частными производными", содержащие частные
производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у.
называется наибольший порядок входящих в него производных. Так,
например,

есть дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка.
Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной
неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется
соотношение

Многие вопросы теории дифференциальных уравнений проще рассматривать
для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая
функцию f(х, у) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные хиу
равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является
независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений.

Пусть у=у(х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит,
что в прямоугольных координатах касательная к кривой у=у(х) имеет в
каждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k =f(х, у). Т. о.,
нахождение решений у=у(х) геометрически сводится к такой задаче: в
каждой точке некоторой области на плоскости задано "направление",
требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют
направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (х, у)
непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М
непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в
достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей
рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих
точек направлением. На рис.1 это выполнено для уравнения у'- у². Рисунок
позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения -
так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что
общее решение данного уравнения есть

На рис 1. вычерчены интегральные кривые,
соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у=у(х)
пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу,
только один раз. Таковы, следовательно, интегральные
кривые любого уравнения (Б) с однозначной
непрерывной функцией в правой части. Новые
возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к
уравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р (х, у) и Q (х, у)
можно задать любое непрерывное "поле направлений". Задача
интегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не
зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных
кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что
тем точкам (х₀, у₀), в которых обе функции Р (х, у) и Q (х, у) обращаются в
нуль, не соответствует какое-либо определённое направление. Такие точки
называются особыми точками уравнения (В).

Пусть, например, задано уравнение
которое можно записать в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл
при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство
интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х² +у² = С,
изображены на рис.2 . Начало координат (х = 0,y = 0) - особая точка данного
уравнения.

изображёнными на рис. 3, являются всевозможные прямолинейные лучи,
выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и
этого уравнения.

Начальные условия. Геометрическая интерпретация дифференциальных
уравнений 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю
точку М области G с заданным непрерывным полем направлений можно
провести одну вполне определённую интегральную кривую.

В отношении существования интегральной кривой сформулированная
гипотеза оказывается правильной. Например, если для рассмотренного выше
уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t₀ = 0
температура тела была равна "начальному" значению Т₀, то из бесконечного
семейства решений (2) выделится одно определённое решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Этот пример типичен: в механике и физике дифференциальные уравнения
обычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако,
чтобы получить из этих законов определённые количественные результаты,
надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой
физической системы в некоторый определённый выбранный в качестве
"начального" момент времени t₀.

Если условия единственности выполнены, то решение у (х),
удовлетворяющее условию у (х₀) -у₍₎, можно записать в виде:

где x₀ и у₀ входят как параметры, функция же j (х; х₀, у₀) трёх переменных х,
x₀ и у₀ однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что
при достаточно малом изменении поля (правой части дифференциальных
уравнений) функция j(x; х₀, у₀) меняется сколь угодно мало на конечном
промежутке изменения переменного х - имеется непрерывная зависимость
решения от правой части дифференциальных уравнений. Если правая часть f
(х, у) дифференциальных уравнений непрерывна и её производная по у
ограничена, то имеет место также непрерывность j (х; х₀, у₀) по х₀ и у₀.

Если в окрестности точки (х₀ ,у₀) для уравнения (Б) выполнены условия
единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно
малую окрестность точки (х₀ ,у₀), пересекают вертикальную прямую х = х₀ и
определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см.
рис. 4). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

которое является общим решением дифференциальных уравнений (В).
рис. 4

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить
обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от
параметра С, требуется найти дифференциальные уравнения,
для которого кривые заданного семейства служили бы
интегральными кривыми. Общий метод для решения этой
задачи заключается в следующем: считая семейство кривых
на плоскости хОу заданным при помощи соотношения

Дифференциальные уравнения высших порядков и системы
дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения п-го порядка с одной неизвестной функцией у
(х) независимого переменного х записывают так:

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n
неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1
уравнениям (14) присоединить уравнение

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и
системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем
уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го
порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх
уравнений движения материальной точки

где х, у, z - координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе
шести уравнений:

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w
скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно
числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n
неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет
вид:

Решением системы дифференциальных уравнений (а) называется система
функций x₁(t),x₂ (t),..., x_n(t), которая при подстановке в уравнения (а)
обращает их в тождества.

Задача

Ускорение свободного падения тела равно g — тело падает из состояния
покоя. Найти зависимость пути, проходимого телом, от времени: s = f(t).
Решение.

Дифференциальные уравнения с частными производными.

Типичной особенностью дифференциальных уравнений с частными
производными и систем дифференциальных уравнений с частными
производными является то, что для однозначного определения частного
решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного
числа параметров, а некоторых функций.

Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы в
физике, химии и биологии. Они позволяют, в частности, определять
изменение состояния систем со временем.

Уравнения с частными производными содержат неизвестную функцию (u)
нескольких независимых переменных (например, х у, z) и ее частные
производные. Например, волновое уравнение

Примеры и задачи с решениями

Пример.

Решить уравнение

Определяем С:

Интегрируем:

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Разделив всё уравнение на (2х +1), приходим к уравнению с

Ответ:

Пример.

Найти общее решение уравнения
Разделяем переменные:

Задача

Найти закон движения тела, движущегося со скоростью, пропорциональной

пройденному пути.

Решение.

В начальный момент (t = 0) в органе масса препарата m₀. В некоторый
текущий момент t масса не распавшегося препарата равна m За время dt
распалась достаточно малая масса dm препарата. Логично предположить, что
dm пропорционально времени, в течение которого происходил химический
распад: dm = -λmdt,

Сделаем подстановку:

где λ—некоторая постоянная, зависящая от природы препарата,
внешних условий и т. п.; знак «-» означает уменьшение со временем массы
препарата.

Разделим переменные в последнем уравнении:

учитывая, что нижние пределы соответствуют начальным условиям, а
верхние — условию задачи:

откуда

Пример.

Решение.

Уравнение является однородным, так как функция, стоящая в правой части,
является однородной:

Преобразуем исходное уравнение: Получили уравнение с разделяющимися переменными:

Делим уравнение на

Интегрируя почленно, получим:

общий интеграл.

Ответ:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Действия с корнями

1.Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в п раз и
одновременно возвести подкоренное значение в степень п:

2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в п
раз и одновременно извлечь корень п-й степени из подкоренного значения:

3. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению
корней той же степени из этих сомножителей:

Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

Обратно:

5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень
подкоренное значение:

Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту
степень корень из основания степени:

Действия со степенями

1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна
произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

Практически более важно обратное преобразование:

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же
степени произведения этих величин.

2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени
делимого на ту же степень делителя:

3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней складываются:

4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени
делителя вычитается из показателя степени делимого:

5. При возведении степени в степень показатели степеней
перемножаются:

Основные тригонометрические формулы

Определение тригонометрических функций для острых

углов

Пусть ОАВ — треугольник с углом α. Тогда:

• Синус - отношение ординаты конца
подвижного радиуса к длине этого радиуса. Синусом α
называется отношение АВ/ОВ (противолежащего катета
к гипотенузе).

• Косинус - отношение абсциссы конца
подвижного радиуса к длине этого радиуса. Косинусом α
называется отношение ОА/ОВ (прилежащего катета к
гипотенузе).

• Тангенс - отношение ординаты конца подвижного радиуса к его
абсциссе. Тангенсом α называется отношение АВ/ОА (отношение
противолежащего катета к прилежащему).

• Котангенс - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к его
ординате. Котангенсом α называется отношение ОА/АВ (отношение
прилежащего катета к противолежащему).

• Секанс - отношение длины подвижного радиуса к абсциссе его конца.
Секансом α называется отношение ОВ/ОА (гипотенузы к прилежащему
катету).

• Косеканс - отношение длины подвижного радиуса к ординате его
конца. Косекансом α называется отношение ОВ/АВ (гипотенузы к
противолежащему катету).

• Линия тангенсов - касательная к единичной окружности в конце
горизонтального диаметра.

• Линия котангенсов - касательная к единичной окружности в
конце вертикального диаметра.

На рисунке представлена декартова система
координат на плоскости и построена окружность
радиуса R с центром в начале координат О.

Углы измеряются как повороты от
положительного направления оси абсцисс
до луча ОВ.

Направление против часовой стрелки считается
положительным.

Направление по часовой стрелке считается
отрицательным.

Абсциссу точки В обозначим х_B, ординату обозначим y_B

Чётность функций