Сравнение двух выборочных средних.

Пусть усовершенствована какая-либо машина, например, выемочная. Для оценки полезности сделанного поставлен сравнительный эксперимент: проведен ряд замеров производительности до и после реконструкции. В результате эксперимента получены две выборки. Первая – число замеров ,математическое ожидание , и дисперсия . Вторая – число опытов , математическое ожидание , дисперсия выборки При этом

Ставиться вопрос: можно ли утверждать, что различие между и значимо? Иными словами, можно ли утверждать, что реконструкция дала положительные результаты.

Обозначим

(2.14)

Z будет значимой величиной, если выйдет за пределы доверительного интервала

Предположим, что различие между … … и … …незначимо, т.е. предположим … ….

Тогда доверительный интервал

В разделе 2.4. показано, что

С учетом выражения (2.14) следует

Так как то

Если и однородны, а только в этом случае можно сравнивать и , то

или

Таким образом, доверительный интервал

(2.15)

Критерий берется для соответствующего уровня значимости и числа степеней свободы .

Пример.В одинаковых условиях проведены испытания двух выемочных комбайнов. Получены следующие равновероятные данные для производительности:

-.до реконструкции: 39; 34; 58; 45; 34; 38 т/ч

- после реконструкции: 40; 47; 50; 53; 49; 45 т/ч

Найдем оценки математических ожиданий

На первый взгляд кажется, что реконструкция привела к существенному увеличению производительности машины - на 14,5% . Проверим достоверность этого.

Используя выражение (2.4), найдем оценки дисперсий

и

В соответствии с выражением (2.5)

и

Для проверки однородности параллельных опытов в выборках по выражению (2.9) определим доверительные интервалы

Таким образом, каждая из выборок состоит из однородных результатов.

Проверим однородность дисперсий. Определим расчетное значение критерия Фишера

Табличное значение F - критерия при уровне значимости и составляет 5,05. Следовательно, дисперсии однородны.

В соответствии с выражением (2.12) определим

По уравнению (2.15) доверительный интервал

Так как этот интервал включает различия между математическими ожиданиями

то с вероятностью 0,95 экспериментальный материал не дает оснований утверждать, что реконструкция комбайна привела к значимому увеличению производительности.