ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Теорема: Для того чтобы прямая, принадлежащая плоскости, была перпендикулярна наклонной к этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной.
Необходимое условие:
Дано: 
Доказать: 
Доказательство:
; 
; 
;
; 
; 
;
Через точки А, В, С проходит единственная плоскость АВС. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая l перпендикулярна плоскости АВС:
1) 
по условию теоремы;
2) 
, так как , а значит, она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости 
.
, значит, прямая l перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости . Следовательно, 
, т. е. .
Достаточное условие:
Дано: Доказать:
Доказательство:
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая l перпендикулярна плоскости АВС:
1. по условию теоремы;
2. , так как , а значит, перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости .
, значит, прямая l перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости . Следовательно, , т. е. .
Вывод: Чтобы доказать, что наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, надо показать, что её проекция перпендикулярна этой прямой.
Упражнения:
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 1069;