Локальная теорема Лапласа. Пусть теперь число испытаний велико, , и вероятность появления успеха в одном испытании достаточно велика

Пусть теперь число испытаний велико, , и вероятность появления успеха в одном испытании достаточно велика. К данной схеме теорема Пуассона неприменима, а по формуле Бернулли вычисления затруднительны. Тогда справедлива теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появиться ровно раз в испытаниях, приближенно равна:

, где .

Формула называется асимптотической формулой Лапласа.

Функция – функция Гаусса.

Функция Гаусса табулирована, то есть ее значения помещены в таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента (приложение 1). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция Гаусса четная, то есть ;

б) при можно считать, что .

Замечание 1. Асимптотическая формула Лапласа даёт при одном и том же результаты тем лучше, чем ближе вероятность к 0,5.

Замечание 2. Критерий, позволяющий однозначно определить закон:

– если , то справедлива теорема Пуассона ;

– если , то справедлива локальная теорема Лапласа.

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь .

Применим локальную формулу Муавра–Лапласа.

Имеем: , следовательно,

.

Учитывая, что: (определяем по таблице приложения 1), получим:

.