Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события по формуле Бернулли будет равна:

,

и вычисление здесь весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означает, что . При этом и вероятность успеха не меняется внутри одной серии испытаний. Обозначим через –число успехов в - ной серии испытаний.

Теорема Пуассона. Пусть , так, что . Тогда для любого числа вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине .

– формула Пуассона.

Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку «велико», а = 0,003 «мало», то, взяв , можно написать приближенное равенство:

.

Замечание. Для закона Пуассона наиболее вероятное число успехов равно .

Пример. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок.

Решение. Событие ={в пути будет разбито не более 4-х бутылок}.

Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей:

, то есть вероятностей того, что будет разбита одна бутылка, две бутылки, три бутылки, четыре бутылки и т.д.

Так как , , , то вероятность события найдем, используя формулу Пуассона:

и т.д.

.