Механика твердого тела
Момент инерции.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:
Моментом инерции системы(тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по объему тела.
Главный момент инерции— момент инерции относительно главной оси вращения проходящей через центр масс
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объёму:
Тело | Положение оси вращения | Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R | Ось симметрии | |
Сплошной цилиндр или диск радиуса R | Ось симметрии | |
Прямой тонкий стержень длиной l | Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину | |
Шар радиусом R | Ось проходит через центр шара |
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
Момент инерции тела J относительно произвольной оси z равен сумме момента его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы да тела на квадрат расстояния a между осями:
Например, момент инерции прямого тонкого стержня длиной l относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец, (эта ось отстоит на l/2 от оси, проходящей через центр стержня):
Таким образом величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.
22.Кинетическая энергия вращения.
Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью Кинетическая энергия тела:
где - момент инерции тела относительно оси z.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий:
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.
23. Момент силы.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :
Модуль момента силы: ,где — плечо силы— кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой
О; α — угол между .
Моментом силы относительно неподвижной оси z — называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки Оданной оси z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.
24.Основное уравнение динамики вращательного движения твердого
Тела.
При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол точка приложения силы А проходит путь и работа равна:
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:
Тогда , или откуда
уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:
где J — главный момент инерции тела(момент инерции относительно главной оси).
25. Момент импульса и закон его сохранения.
Моментом импульса(количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса , не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта (совпадает с направлением вектора угловой скорости ).
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Продифференцируем по времени:
В векторной форме: - ещё одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела.
В замкнутой системе момент внешних сил , следовательно и .
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени:
Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси z закон сохранения момента импульса равносилен: .
26.Сопоставим основные величины и соотношения для поступательного движения тела и для его вращения вокруг неподвижной оси.
Поступательное движение | Вращательное движение | ||
Масса | т | Момент инерции | J |
Перемещение | Угловое перемещение | ||
Скорость | Угловая скорость | ||
Ускорение | Угловое ускорение | ||
Сила | Момент силы | ||
Импульс | Момент импульса | ||
Работа | Работа | ||
Кинетическая энергия | Кинетическая энергия | ||
Основное уравнение динамики | Основное уравнение динамики | ||
Дата добавления: 2016-04-22; просмотров: 2123;