Теорема 4. Любая конечная игра размера m×n имеет решение, в котором число активных стратегий у каждого игрока не превосходит наименьшего из чисел m и n.
Из этой теоремы следует, что у игры размера 2×n всегда имеется решение, в котором каждый игрок использует не более двух активных стратегий.
Пользуясь геометрической интерпретацией, можно дать простой способ решения игры размера 2×n без седловой точки. Пусть платежная матрица игры имеет вид:
Для каждой из n чистых стратегий второго игрока строим график функции выигрыша первого игрока по формуле:
(1) ;
Непосредственно по чертежу находим пару активных стратегий второго игрока, соответствующих двум графикам функций выигрыша, пересекающихся в точке с максимальной ординатой на нижней границе выигрышей и имеющих противоположные наклоны. Вместе со стратегиями первого игрока они образуют по теореме 4 игру размера 2×2, решение которой является решением и исходной игры.
Пример 3. Инга и Кора играют в следующую игру: Кора прячет в кулаке либо 1, либо 2, либо 3, либо 4 монеты (достоинством в 1 доллар). Инга угадывает: четное число монет или нечетное. Если она угадала, Кора отдает монеты, иначе Инга должна заплатить ту сумму, которая была в кулаке у Коры.
Решение. Составим платежную матрицу игры размера 2×4 и найдем нижнюю и верхнюю цену игры. = –3 , = 1, < , следовательно, игра без седловой точки.
Кора Инга | |||||
чет | –1 | –3 | –3 | ||
нечет | –2 | –4 | –4 | ||
Функции выигрыша Инги, соответствующие чистым стратегиям Коры вычисляем по формуле (1):
Построим графики функций на отрезке [0, 1] изменения частоты :
Рис. 9.2
Ломаная ANB является нижней границей выигрышей первого игрока, координаты точки N определяют оптимальную стратегию Инги и цену игры. Тока N – точка пересечения всех четырех графиков, в частности, и с противоположными наклонами, поэтому активными стратегиями Коры можно считать третью и четвертую стратегии. Получаем игру размера 2×2 с платежной матрицей: , для которой находим, что = , = , V = 0, = , = . Поэтому оптимальная стратегия Коры имеет вид:
.
Аналогично можно решить игру размера m×2, где m >2.
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 686;