Перевод из одной Р-ичной системы счисления в другую

Перевод Р-ичного целого в десятичное число

Алгоритм перевода:

1. Каждая цифра Р-ичного числа переводится в десятичную систему.

2. Полученные числа нумеруются справа налево, нумерация начинается с нуля.

3. Десятичное число, соответствующее каждой Р-ичной цифре, умножается на P*, где основание P записывается в десятичной системе; к — номер этого числа, полученный на шаге 2. Результаты складываются, все арифметические действия производятся в десятичной системе.

Пример. Перевод числа 1110011₂ из двоичной в десятичную систему счисления.

1. Каждая цифра числа уже находится в десятичной системе.

2. Пронумеруем каждую цифру справа налево, при этом номера цифр будем указывать в квадратных скобах справа от цифры:

1[6],1[5],1[4],0[3],0[2],1[1],1[0].

3. Результат будет выглядеть как сумма (P = 2):

_<3 = 2⁶x1+ 2⁵X1 + 1⁴X1 + 1³X0+ 1²X0+1¹X1 + 1°X1 =

= 64 + 32 + 16 + 0 + 0+1 + 1 = 114₁₀.

Пример. Перевод числа EF09i₆ из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.

1. Каждую цифру числа переведем в десятичную систему:

E₁₆= 14₁₀, F₁₆= 15₁₀, O₁₆= O₁₀,9₁₆= 9₁₀.

2. Пронумеруем каждую цифру числа справа налево:

14[3], 15[2], 0[1], 9[0].

3. Результат (P = 16):

я=16³х 14₁₀+ 16²х 15,0+ 16^ O₁₀+ 16°х 9,о- = 4096 х 14 + 256 х 15 + 0 + 9 = 61193₁₀.

Перевод Р-ичного смешанного числа в десятичное число

Алгоритм перевода:

1. Отдельно переводится целая часть числа (как описано ранее).

2. Каждая цифра дробной части Р-ичного числа переводится в десятичную систему.

3. Полученные числа нумеруются слева направо, нумерация начинается с единицы.

4. Десятичное число, соответствующее каждой Р-ичной цифре, умножается на Р~^к, где k — номер, присвоенный числу; основание P записывается в десятичной системе. Результаты складываются, все действия производятся в десятичной системе.

Пример. Перевод смешанного числа 11,1 IOl₂ из двоичной в десятичную систему счисления.

1. Переведем в десятичную систему целую часть: Il₂= 3₁₀.

2. В двоичной системе каждая цифра соответствует десятичной.

3. В дробной части пронумеруем цифры слева направо:

1[1],1[2],0[3],1[4].

4. Дробная часть (р = 2):

2^-1 х 1 + 2^_2х 1 +2"³х0 + 2"⁴х 1 =0,8125. Все число в десятичной системе счисления будет записано как 3,8125₁₀.

Пример. Перевод смешанного числа В, ICD₁₆ из шестнадцатеричной в десятичную систему.

1. Переведем в десятичйую систему целую часть:

B₁₆= Il₁₀.

2. Переведем каждую цифру дробной части в десятичную систему:

116 = 1 ю> C₁₆ = 12ю, D₁₆= 13₁₀.

3. В дробной части пронумеруем цифры слева направо:

1[1], 12[2], 13[3].

4. Дробная часть (P = 16):

16^-1 xl + 16^_2х 12 + 16^_3х 13 = 0,0625 + 0,046875 + 0,003173828125 = = 0,112548828125₁₀.

Все число в десятичной системе счисления будет записано как 11,112548828125.

Перевод десятичного целого числа в Р-ичную систему

Алгоритм перевода:

1. Делим исходное число нацело на основание P в десятичной системе счисления и записываем целую часть результата деления в качестве нового значения деся­тичного числа.

2. Остаток от деления заменяем соответствующей цифрой в Р-ичной системе счисления и приписываем ее слева к полученным ранее цифрам Р-ичной записи числа (первая полученная цифра соответствует младшему разряду).

3. Выполняем шаги 1 и 2 до тех пор, пока не получим в результате 0.

Пример. Перевод числа 17ю в двоичную систему.

17 : 2 = 8 (остаток 1).

8:2 = 4 (остаток 0).

4:2 = 2 (остаток 0).

2:2 = 1 (остаток 0).

1:2 = 0 (остаток 1).

Берем остатки от деления, указанные в скобках, начиная снизу, и, продвигаясь вверх, записываем их слева направо. Это и есть искомый результат, число 17 за­писанное в двоичной системе счисления:

17₁₀= IOOOl₂.

Пример. Перевод десятичного числа 3477ю в шестнадцатеричную систему счис­ления.

3477 :16 = 217 (остаток 5₁₀= 5₁₆). 217:16=13 (остаток 9₁₀= 9₁₆). 13:16 = 0 (остаток 13₁₀= D₁₆). Результат 3477ю= D95₁₆.

Правильность результата можно проверить, выполнив обратное преобразование.

Перевод десятичной дроби в Р-ичную систему

Перевод дробной части десятичного числа в Р-ичную систему производится отдельно от целой части. Алгоритм перевода:

1. Исходное число умножается на основание системы счисления Р. В полученном произведении целая часть является первой цифрой после запятой в результате.

2. Если после этой операции дробная часть числа не стала равной нулю, умножаем ее на P и целую часть получившегося числа (переведя ее в соответствующую Р-ичную систему) приписываем справа к результату.

3. Выполняем шаг 2 до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или пока не выделится период (повторяющаяся часть в результате).

Пример. Перевод числа 0,125ю в двоичную систему. 0,125 х 2 = 0,250 (целая часть = 0). 0,25 х 2 - 0,5 (целая часть = 0). 0,5 х 2 = 1,0 (целая часть = 1).

Поскольку в атом месте дробная часть стала равной нулю, преобразование окон­чено. Результат 0,125₁₀= 0,001₂.

Пример. Перевод числа 0,275₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. 0,275 х 16 = 4,4 (целая часть = 4). 0,4 х 16 = 6,4 (целая часть = 6). 0,4 х 16=6,4 (целая часть = 6).

Перевод закончился с выделением периода 0,275₁₀ = 0,4(6) ₁₆.