Выполнение арифметических операций Сложение

Если результат сложения двух цифр в Р-ичной системе счисления больше P - 1 (то есть полученное число двузначное), то старшая цифра результата всегда равна 1. Таким образом, при сложении столбиком в следующий разряд может переходить только единица, а результат сложения в любом разряде будет меньше, чем Р. Ре­зультат сложения двух положительных Р-ичных чисел либо имеет столько же зна­чащих цифр, что и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица. Такая закономерность обуславливает возможность сложения в столбик не только десятичных, но и любых Р-ичных чисел.

Поскольку сложение в десятичной системе для нас является привычным (как и другие арифметические действия), оно не вызывает затруднений. В других Р-ичных системах для облегчения сложения (вычитания) применяются специаль­ные таблицы, сходные с привычной нам таблицей умножения (табл. 11.6).

Пример. Сложение двух двоичных чисел: 110,112₂м 10,012₂.

+ НО,Il₂ 10,Ol₂ 1001,OO₂

Таблица 11.6. Таблицы сложения в двоичной и троичной системах счисления

Вычитание

Алгоритм:

Если необходимо вычесть из цифры а цифру Ь и а г> Ъ, то в столбце Ь таблицы сложения ищем значение числа а. Самая левая цифра в строке, в которой найдено значение числа а, и будет результатом вычитания. Если ж еа<Ь, нам нужно заим­ствовать единицу из левого разряда, поэтому в столбце Ь мы ищем число 1я, и левая цифра в соответствующей строке будет результатом вычитания.

Пример. Вычтем из двоичного числа 110,11₂ двоичное число 10,01₂.

110,Il₂ 10,Ol₂ 100,IO₂

Пример. Вычитание чисел в троичной системе счисления: вычитаем из 2 20,02₃ число 100,10₃

_ 220,02₃ 101,IO₃ 111,22₃

В этом примере мы двигаемся позиция за позицией справа налево. В случае вычитания 0 из 2 получаем 2

.Ситуация, когда а < Ъ возникает во второй справа позиции, нам надо вычесть 1 из 0. В столбце Ъ (в столбце с цифрой 1) мы ищем число 1 а (поскольку а=0, это будет число 10), и в самой левой ячейке строки, в которой расположена это число (10) мы находим искомый ответ 2.

Поскольку в предыдущем шаге мы заимствовали единицу из старшего разряда (а он содержал в себе 0), прежде чем делать следующий шаг, мы должны еще раз выполнить операцию вычитания 1 из 0, получить в старшем разряде 2 (снова заимствовав единицу из старшего разряда), из 2 вычесть 1, и получить в третьей справа позиции 1.

Дальнейшие шаги представляются очевидными.

Умножение

Для того чтобы выполнять умножение чисел в Р-ичной системе, нам необходи­мы как таблица сложения, так и таблица умножения для этой системы (табл. 11.7).

Таблица 11.7. Таблицы умножения в двоичной и троичной системах счисления

Умножение производится по правилам умножения столбиком с использованием соответствующих таблиц умножения и сложения.

Пример. Умножение двоичного числа 10,1₂ на двоичное число 1,1₂.

Ю,I₂

х ' ²

____ U_i

1,01₂ 10,1₂ 11,Il₂

Деление

Как и для умножения, для деления нужны обе таблицы, умножения и сложения в соответствующей Р-ичной системе. Само деление выполняется по привычным правилам деления уголком с последовательным вычитанием сомножителей.

Пример. Деление двоичного числа 11112 на двоичное число 112.

0.

Вопросы для самопроверки

1. Являются ли понятия «информация» и «данные» синонимами? Дайте опреде­ление тому и другому понятию.

2. Какие типы информации вам известны?

3. Что такое «Р-ичная система счисления»? Какие Р-ичные системы счисления вы знаете?

4. Для чего нужен дополнительный код?

5. Верно ли высказывание: «информация в компьютере всегда представлена в би­нарном виде»?

6. В каком виде хранятся в компьютере отрицательные целые числа?

7. В каком виде хранятся в компьютере действительные числа?

8. Какие проблемы могут возникнуть при сохранении результатов некоторых арифметических операций?

9. Как решается проблема наличия разных алфавитов в разных языках при коди­ровании и хранении символьной информации?

10.Что такое «ASCII»?

11.Что такое «необработанные данные»?

12.Зачем нужны служебные данные?

Литература

Андреева Е. ВБосова Л. Л., Фалина Н. Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. M.: Бином, 2005.

Бауэр Ф. Л.у Гооз Г. Информатика. M.: Мир, 1990.

Воройский Ф. С. Информатика. Новый систематизированный толковый словарь- справочник (Введение в современные информационные и телекоммуникацион­ные технологии в терминах и фактах). M.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Петзолд, Ч. КОД. Русская редакция: M., 2001.