Задачи средней трудности. В1. Плоско-выпуклая линза сделана из материала с показате­лем преломления п

В1. Плоско-выпуклая линза сделана из материала с показате­лем преломления п. При каком значении п фокусное расстояние линзы равно радиусу ее сферической поверхности?

В2. Две собирающие линзы одинаковой формы сдела­ны из разных сортов стекла с показателями преломления n₁ = 1,5 и п₂ = 1,7. Найти отношение фокусных расстояний линз в воздухе (п » 1) и в воде (п_в = 1,33).

В3. Тонкая стеклянная линза имеет оптическую силу D = 5 дптр.Та же линза, погруженная в жид­кость, имеет оптическую силу D' = –1 дптр.Найти показатель пре­ломления жидкости, зная, что показа­тель преломления стекла равен 1,5.

В4. Стеклянный стержень с показателем преломления п_ст = 1,5 имеет воздушную полость (п » 1), одна сторона кото­рой плоская и перпендикулярна к оси стержня, а другая – выпуклая, с радиусом кривизны R =10 см.Вдоль стержня распространяется пучок параллельных лучей. Найти фо­кусное расстояние F воздушной линзы.

В5. На экране, отстоящем от объектива (тонкая линза оптической силой 5 дптр) на расстоянии 4 м, получено четкое изображение диапозитива. Экран отодвигают на 20 см. На сколько надо переместить диапозитив, чтобы восстановить четкость изображения?

В6. Построить график зависимости расстояния изображения f до линзы от расстояния d предмета от линзы. Рассмотреть также случай, когда предмет мнимый.

Рис. 8.36   Рис. 8.37

В7.Желая получить снимок зебры, фотограф снял белого осла, надев на объектив фотоаппарата стекло с черными полосками. Что получилось на снимке?

В8. Из стекла двух сортов выполнена слоистая линза, изображенная на рис. 8.36. Какое изображение даст эта линза в случае точечного источника, расположенного на оптической оси? Отражение света на границе слоев не учитывать.

В9.На экране сделано круглое отверстие, через которое проходит сходящийся пучок лучей, как показано на рис. 8.37. Вершина пучка А лежит на расстоянии 15 см от экрана. Как изменится расстояние точки встречи лучей до экрана, если в отверстие вставить собирающую линзу с фокусным расстоянием 30 см?

В10.Два точечных источника света находятся на рас­стоянии b = 24 см друг от друга. Между ними на расстоянии d = 6 см от одного из них помещена собирающая линза. При этом изображения обоих источников получились в одной и той же точке. Найти фокусное расстояние F линзы.

В11. Кусок стекла с показателем преломления п_ст = 1,5 имеет воздушную полость (п » 1) в виде двояковыпук­лой линзы с радиусами кривизны R = 10 см. На главной оп­тической оси линзы внутри стекла на расстоянии d = 20см от линзы находится песчинка. Найти расстояние f от лин­зы до изображения песчинки.

В12. Сходящийся пучок лучей имеет вид конуса с вер­шиной в точке А. Когда на пути лучей поставили рассеивающую линзу, сходящийся пучок превратился в расходящийся с вершиной в точке В. Точки А и В лежат на глав­ной оптической оси линзы на расстоянии d = 0,45 м друг от друга, и оптический центр линзы делит отрезок ВА в отно­шении п : т = 1: 2. Найти фокусное расстояние F линзы.

В13. Ha рис. 8.38показано, как линза LL преобразует падающие на нее лучи. Зная, что OS = 40 сми OS ' = 60 см,найти фокусное расстояние линзы.

рис. 8.38Рис. 8.39

В14.Предмет, помещенный в точку А, линза увеличивает вдвое, а предмет, помещенный в точку В, – втрое (рис. 8.39). Во сколько раз увеличивает эта линза длину отрезка АВ?

В15. 1. Полая двояковогнутая стеклянная линза помещена в воду. Фокусное расстояние линзы в воде равно F. Найти длину изображения стрелки, расположенной на оптической оси между точками, отстоящими от линзы на расстояния F/4 и 3F/4. Что будет с изображением, если центральную часть линзы закрыть непрозрачным кружком, площадь которого составляет половину площади поверхности линзы? Внутри полости линзы находится воздух, стенки ее тонкие. Решение обосновать построением.

2.Полая двояковыпуклая стеклянная линза помещена в воду. Найти длину изображения стрелки, расположенной на оптической оси вплотную к линзе, если длина самой стрелки равна фокусному расстоянию линзы F. Внутри полости линзы находится воздух, стенки ее тонкие. Решение обосновать построением.

В16. Найти длину изображения l' стрелки, расположенной вдоль оптической оси, вплотную к рассеивающей линзе, если длина l самой стрелки равна фокусному расстоянию линзы F. Решение обосновать построением.

В17. Середина стержня, имеющего дли­ну l = 10 мм, находится на рас­стоянии d = 18 см от собирающей линзы на ее главной оптической оси. Определите длину L изображения стержня в двух случаях: а) стержень расположен параллельно плоскости линзы; б) стержень расположен вдоль главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F = 12 см.

В18. Собирающая линза дает действительное изображение с увеличением в два раза. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением равно 24 см.

В19. С помощью собирающей линзы получают на экране изображение светлого квадрата. Расстояние от квадрата до линзы 30 см.Площадь изображения в четыре раза больше площади квадрата. Определить положение изображения и фокусное рас­стояние линзы.

В20. Собирающая линза дает на экране изображение предмета с увеличением k = 2,0. Расстояние от предмета до линзы превышает ее фокусное расстояние на величину а = 6,0 см. Найти расстояние f от линзы до экрана.

В21.Линза дает трехкратное увеличение предмета, находяще­гося в 10 смот ее плоскости. Найти ее фокусное расстояние.

В22. Расстояние от предмета до плоскости собирающей линзыв п раз меньше ее фокусного расстояния. Найти увеличение.

В23. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием F = –10 см дает мнимое изображение предмета, уменьшенное в 2 раза. На каком расстоянии d от линзы находится предмет? Постройте ход лучей и изображение.

Рис. 8.40

В24.Спичка расположена в фокальной плоскости рассеивающей линзы (рис. 8.40). Во сколько раз линза уменьшает длину спички?

В25. Определить оптическую силу рассеивающей линзы, если известно, что предмет, помещенный перед ней на расстоянии 40 cм, дает мнимое изображение, уменьшенное в 4 раза.

В26. Предмет находится перед рассеивающей линзой на расстоянии mf. На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение предмета и во сколько раз оно будет меньше самого предмета?

В27.Собирающая линза дает изображение некоторого объекта на экране. Высота изображения равна h₁.Оставляя неподвижным экран и объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором четком изображении объекта высота изображения равна h₂. Найти действительную высоту предмета h.

В28. Предмет и экран зафиксированы неподвижно в верти­кальном положении. Между ними находится двояковыпуклая линза, которая может перемещаться вдоль главной оптической оси. При одном положении линзы на экране получается изоб­ражение, увеличенное в три раза. Чему будет равно увели­чение при другом положении линзы, при котором на экране получается четкое изображение? Определить расстояние l между обоими положениями линзы. Расстояние между пред­метом и экраном L = 60 см.

В29. Собирающая линза дает действительное увели­ченное в два раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между лин­зой и изображением предмета 24 см. Построить изобра­жение предмета в линзе.

В30.Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где на­до поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить на экране отчетливое изображение предмета?

В31. Предмет находится на главной оптической оси собирающей линзы. На сколько процентов увеличится размер его изображения, если расстояние от предмета до переднего фокуса линзы уменьшит­ся на 20%?

В32.Линза дает действительное изображение предмета с уве­личением k = 3. Как изменится это число, если вдвое уменьшить оптическую силу линзы?

В33. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 25 см от нее. Фокус­ное расстояние линзы F = =10см, ее радиус r = 5,0 см. По дру­гую сторону линзы ставят экран так, что на нем получается четкое изображение источника. Затем экран перемещают вдоль оси на расстояние а = 5,0 см. Найти радиус R светлого круга на экране.

В34. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 0,06 м вставлена в отверстие радиуса r = 0,03 м в непрозрачной ширме. На экране, находящемся на расстоянии а = 0,16 м от ширмы, получено четкое изображение точечного источника света. Каков будет радиус R светлого круга на экране, если вынуть линзу из отверстия?

В35. Сходящийся пучок лучей, проходящий через отверстие радиусом r = 5 см в непрозрачной ширме дает на экране, расположенном за ширмой на расстоянии b = 20 см светлое пятно радиуса R = 4 см. После того как в отверстие вставили линзу, пятно превратилось в точку. Найти фокусное расстояние линзы.

В36. Светящаяся точка описывает окружность радиу­са r в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой D, а ее изображение описывает на экране окружность радиуса R. На каком расстоянии f от линзы находится экран?

Рис. 8.41

В37. Точечный предмет движется по окружности со скоростью υ = =3 см/с вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, перпендикулярной к оси и отстоящей от линзы на расстоянии d = l,5F, где F – фокусное расстояние линзы. В каком направлении и с какой скоростью V движется изображение предмета?

Задачи трудные

С1.Плоско-выпуклая линза сде­лана из стекла с показателем преломления п = 1,5 (рис. 8.41). Найти ее фокусное расстояние, зная, что D = 10 сми d = 1 см.

Рис. 8.42

С2. Воздушная линза, образованная двумя часовыми стекла­ми, помещена в воду (рис. 8.42). Найти ее фокусное расстояние, зная, что стеклянная линза такой же формы имеет в воздухе фокус­ное расстояние 40 см.Коэффициент преломления стекла равен 3/2, а коэффициент преломления во­ды – 4/3.

С3. Воздушная полость в стекле имеет форму тон­кой плоско-выпуклой линзы. Найти фокусное расстоя­ние х этой линзы в стекле. Известно, что фокусное рас­стояние линзы из этого же стекла, совпадающей по форме с полостью, равно F в воздухе. Показатель преломления стекла равен п. Углы между падающими и преломленными лучами считать малыми.

С4.Предмет находится на расстоянии a₁= 8,0 см от переднего фокуса линзы, а его изображение – на экране на расстоянии а₂= 18 см от заднего фокуса линзы. Определите фокусное расстояние F линзы.

С5. Расстояние между электрической лампочкой и эк­раном d = l м. При каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием F = = 21 см изображение нити лам­почки будет отчетливым? Можно ли получить изображение, если фокусное расстояние f ' = 26 см?

С6.Расстояние между двумя точечными источниками света l = 32 см. Где следует поместить между ними собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 12 см, чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке?

С7.На экран с круглым отверстием радиуса 10 см падает сходящийся пучок света. Угол между крайним лучом и осью симметрии равен 30°. Опреде­лите точку, в которой будут сходиться лучи, если в отверстие вставляется 1) со­бирающая; 2) рассеивающая линзы. D₁ = –D₂= 10 дптр.

С8. С каким продольным увеличением k изображается тонкий прямой предмет, совпадающий на некотором участке с главной оптической осью собирающей линзы, если объект, установленный у одного конца предмета, изображается с поперечным увеличением k₁, а у другого – с поперечным увеличением k₂? Оба конца предмета находятся на расстояниях больше фокусного.

С9.Расстояние от заднего фокуса собирающей линзы до изображения в 9 раз больше расстояния от переднего фокуса до предмета. Найти увеличение линзы.

С10. Фокусное расстояние собирающей линзы 10 см,расстояние предмета от переднего фокуса 5 см,линейные размеры предмета 2 см. Определить величину изображения.

С11. Предмет находится на расстоянии а = 0,1 м от пе­реднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета,— на расстоя­нии b = 0,4м от заднего фокуса линзы. Найти фокусное рас­стояние F и увеличение k линзы.

С12. Освещенная щель высотой h = 5см проектируется с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см на экран, отстоящий от линзы на расстоянии f = 12 см. Найти высоту Н изображения щели на экране.

С13.Выразить линейное увеличение k в зависимости от фокусного расстояния линзы F и расстояния предмета от линзы d для случаев: а) d > F;б) d < F. Построить график зависимости k от d.

С14. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 30 см, расстояние предмета от фокуса l = 10 см. Линейные размеры предмета 5 см. Определить размеры изображения Н.

С15. Расстояние от предмета до собирающей линзы и от линзы до изображения одинаковы и равны d = 0,5 м. Во сколько раз увеличится изображение, если сместить пред­мет на расстояние а = 20 см по направлению к линзе?

С16. Определить оптическую силу D рассеивающей линзы, если она дает изображение предмета на расстоянии l = 6,0 см от самого предмета. Высота предмета h = 8,0см, высота изображения Н = 4,0 см.

С17.Расстояние между предметом и его прямым изображением, создаваемым тонкой линзой с увеличением Г = 0,20, равно 32 см. Определить фокусное расстояние линзы.

С18. Предмет находится на расстоянии а = 0,8 м от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение предмета при двух положениях линзы. Найти расстояние b между положениями линзы, если отношение размеров изображений n = 9.

С19. Предмет находится на расстоянии а = 0,60 м от эк­рана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение предмета при двух по­ложениях линзы. Найти отношение п размеров изображений, если расстояния между положениями линзы b = 0,40 м.

С20.Собирающая линза дает на экране изображение лампы, увеличенное в два раза. Когда линзу подвинули на 36 см ближе к экрану, то она дала изображение, вдвое меньшее. Найти фокусное расстояние линзы.

С21. Предмет и экран находятся на расстоянии 90 смдруг от друга. Переме­щая между ними собирающую линзу, ус­тановили, что существуют два положения, при которых она дает четкое изображение предмета на экране. Найти фокусное рас­стояние линзы, зная, что линейные размеры первого изображения вчетверо больше линейных размеров второго.

С22. Тонкая линза с некоторым фокусным расстоянием F₁ создает прямое изображение предмета с увеличением Г₁ = 2/3. Каково будет увеличение Г₂, если, не изменяя расстояние между предметом и линзой, заменить линзу на собирающую с оптической силой D₂ = –D₁.

Рис. 8.43

С23.Когда предмет находился в точке А, линза давала увеличение k₁ = 2,0, а когда предмет поместили в точку В, увеличение стало равным k₂ = 3,0 (рис. 8.43). Каким будет увеличение, если предмет будет находиться в середине отрезка АВ?

С24. Высота пламени свечи 5 см. Линза дает на экране изображение этого пламени высотой 15 см. Не трогая линзы, свечу отодвинули на l = = 1,5 см дальше от линзы и, передви­нув экран, вновь получили резкое изображение пламени вы­сотой 10 см. Определить главное фокусное расстояние линзы.

С25.Собирающая линза с оптической силой D = 8,0 дптр дает изображение предмета, равное размеру предмета. Как нужно изменить расстояние между линзой и предметом, чтобы его изображение уменьшилось в три раза?

Рис. 8.44

С26.Точка А и ее изображение А' расположены так, как пока­зано на рис. 8.44. Зная, что h = 3 см, h¢= 2 сми l = 10 см, найти фокусное расстояние линзы, с помощью которой получено изображение А'.

С27. Найти построением положение рассеивающей линзы и ее главных фокусов, если размеры предмета АВ = 10 см, его изображения А₁В₁ = = 5 см, а расстояние между точками В и В₁ на оптической оси а = 4 см. Проверить полученные данные расчетом.

С28. Собирающая линза вставлена в круглое отверстие в непрозрачной ширме. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 10см от нее. По другую сторону линзы на таком же расстоянии d от нее поставлен перпендикулярно к оси экран. На экране виден светлый круг, диаметр которого в п = 2 раза меньше диаметра линзы. Найти фокусное расстояние F линзы.

Рис. 8.45

С29. Точечный источник света расположен на главной оптической оси собирающей линзы с круглой диафрагмой на расстоянии l от линзы. С другой стороны линзы расположен экран в месте резкого изображения источника света. Найти радиус светового пятна на экране, если источник света отодвинуть в направлении от линзы еще на расстояние d (рис. 8.45). Радиус диафрагмы линзы равен R, фокусное расстояние равно F.

с30.Цилиндрический пучок лучей, имеющий радиус r₁ = 5 см, направляется на рассеивающую линзу параллель­но ее главной оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно радиуса r₂ = 7 см. Каков будет радиус r₃пятна на экране, если рассеивающую линзу заменить со­бирающей с тем же фокусным расстоянием?

С31.Сходящийся пучок, проходящий через отверстие диаметром 6 см в непрозрачном экране I, дает на экране II, находящемся за экраном I на рассто­янии 50 см, светлое пятно диаметром 3 см. После того как в отверстие экрана I поместили линзу, пятно превратилось в точку. Найти фокусное расстояние линзы.

С32.Экран расположен на расстоянии l = 21 см от от­верстия, в которое вставлена линза радиуса r = 5,0 см. На линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате чего на экране образуется светлое пятно радиуса r = = 3,0 см. Оказалось, что если линзу убрать, то радиус пятна не изменя­ется. Найти фокусное расстояние F линзы.

С33.Имеются собирающая линза с фокусным расстоянием F = 10 см и экран, расположенный в ее фокальной плоскости. По другую сторону линзы в ее фокусе находится точечный источник света, который удаляется от линзы с постоянным ускорением а₀ = 4 м/с². Через какой промежуток времени после начала движения радиус светлого пятна на экране уменьшится в п = 6 раз?

С34.Небольшому шарику, который находится на поверх­ности горизонтально расположенной тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 0,5 дптр, сообщили вертикальную на­чальную скорость υ₀ = 10 м/с. Сколько времени t будет суще­ствовать действительное изображение шарика в этой линзе?