Построение изображений в сферических зеркалах

Для того чтобы построить изображение любого точечного источника света в сферическом зеркале, достаточно построить ход любых двух лучей, исходящих из этого источника и отраженных от зеркала. Точка пересечения самих отраженных лучей даст действительное изображение источника, а точка пересечения продолжений отраженных лучей – мнимое.

Характерные лучи.Для построения изображений в сферических зеркалах удобно пользоваться определенными характерными лучами, ход которых легко построить.

1. Луч 1, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси, отразившись, проходит через главный фокус зеркала в вогнутом зеркале (рис. 3.6, а); в выпуклом зеркале через главный фокус проходит продолжение отраженного луча 1¢ (рис. 3.6 ,б).

Рис. 3.6

2. Луч 2, проходящий через главный фокус вогнутого зеркала, отразившись, идет параллельно главной оптической оси – луч 2¢ (рис. 3.7,а). Луч 2, падающий на выпуклое зеркало так, что его продолжение проходит через главный фокус зеркала, отразившись, также идет параллельно главной оптической оси – луч 2¢ (рис. 3.7, б).

Рис. 3.7

3. Рассмотрим луч 3, проходящий через центр вогнутого зеркала – точку О (рис. 3.8, а) и луч 3, падающий на выпуклое зеркало так, что его продолжение проходит через центр зеркала – точку О (рис. 3.8, б). Как мы знаем из геометрии, радиус окружности перпендикулярен касательной к окружности в точке касания, поэтому лучи 3 на рис. 3.8 падают на зеркала под прямым углом, то есть углы падения этих лучей равны нулю. А значит, отраженные лучи 3¢ в обоих случаях совпадают с падающими.

Рис. 3.8

4. Луч 4, проходящий через полюс зеркала – точку Р, отражается симметрично относительно главной оптической оси (лучи 4¢ на рис. 3.9), поскольку угол падения равен углу отражения.

Рис. 3.9

СТОП! Решите самостоятельно: А2, А5.

Читатель: Как-то я взял обычную столовую ложку и попытался разглядеть в ней свое изображение. Изображение я увидел, но оказалось, что если смотреть на выпуклую часть ложки, то изображение прямое, а если на вогнутую, то перевернутое. Интересно, почему это так? Ведь ложку, я думаю, можно рассматривать как некоторое подобие сферического зеркала.

Автор: Чтобы разобраться в этом вопросе, решим следующую задачу.

Задача 3.1.Постройте изображения небольших вертикальных отрезков одинаковой длины в вогнутом зеркале (рис. 3.10). Фокусное расстояние задано. Считается известным, что изображения небольших прямолинейных отрезков, перпендикулярных главной оптической оси, в сферическом зеркале представляют собой также небольшие прямолинейные отрезки, перпендикулярные главной оптической оси.

Рис. 3.10

Решение.

1. Случай а. Заметим, что в данном случае все предметы находятся перед главным фокусом вогнутого зеркала.

Рис. 3.11

Будем строить изображения только верхних точек наших отрезков. Для этого проведем через все верхние точки: А, В и С один общий луч 1, параллельный главной оптической оси (рис. 3.11). Отраженный луч 1¢ пройдет через главный фокус зеркала – точку F₁.

Теперь из точек А, В и С пустим лучи 2, 3 и 4 через главный фокус зеркала. Отраженные лучи 2¢, 3¢ и 4¢ пойдут параллельно главной оптической оси.

Точки пересечения лучей 2¢, 3¢ и 4¢ с лучом 1¢ являются изображениями точек А, В и С. Это точки А¢, В¢ и С¢ на рис. 3.11.

Чтобы получить изображения отрезков достаточно опустить из точек А¢, В¢ и С¢ перпендикуляры на главную оптическую ось.

Как видно из рис. 3.11, все изображения получились действительными и перевернутыми.

Читатель: А что значит – действительными?

Автор: Изображение предметов бывает действительным и мнимым. С мнимым изображением мы уже познакомились, когда изучали плоское зеркало: мнимое изображение точечного источника – это точка, в которой пересекаются продолжения отраженных от зеркала лучей. Действительное изображение точечного источника – это точка, в которой пересекаются сами отраженные от зеркала лучи.

Заметим, что чем дальше находился предмет от зеркала, тем меньшим получилось его изображение и тем ближе это изображение к фокусу зеркала. Заметим также, что изображение отрезка, нижняя точка которого совпадала с центром зеркала – точкой О, получилось симметричным предмету относительно главной оптической оси.

Надеюсь, теперь Вам понятно, почему, рассматривая свое отражение в вогнутой поверхности столовой ложки, Вы увидели себя уменьшенным и перевернутым: ведь предмет (Ваше лицо) находилось явно перед главным фокусом вогнутого зеркала.

2. Случай б. В данном случае предметы находятся между главным фокусом и поверхностью зеркала.

Первый луч – луч 1, как и в случае а, пустим через верхние точки отрезков – точки А и В параллельно главной оптической оси. Отраженный луч 1¢ пройдет через главный фокус зеркала – точку F₁(рис. 3.12).

Рис. 3.12

Теперь воспользуемся лучами 2 и 3, исходящими из точек А и В и проходящими через полюс зеркала – точку Р. Отраженные лучи 2¢ и 3¢ составляют с главной оптической осью те же углы, что и падающие лучи.

Как видно из рис. 3.12, отраженные лучи 2¢ и 3¢ не пересекаются с отраженным лучом 1¢. Значит, действительных изображений в данном случае нет. Зато продолжения отраженных лучей 2¢ и 3¢ пересекаются с продолжением отраженного луча 1¢ в точках А¢ и В¢ за зеркалом, образуя мнимые изображения точек А и В.

Опустив перпендикуляры из точек А¢ и В¢ на главную оптическую ось, получим изображения наших отрезков.

Как видно из рис. 3.12, изображения отрезков получились прямыми и увеличенными, причем чем ближе предмет к главному фокусу, тем больше его изображение и тем дальше это изображение от зеркала.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, А4.

Задача 3.2.Постройте изображения двух небольших одинаковых вертикальных отрезков в выпуклом зеркале (рис. 3.13).

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Решение. Пустим луч 1 через верхние точки отрезков А и В параллельно главной оптической оси. Отраженный луч 1¢ пойдет так, что его продолжение пересечет главный фокус зеркала – точку F₂ (рис. 3.14).

Теперь пустим на зеркало лучи 2 и 3 из точек А и В так, чтобы продолжения этих лучей проходили через центр зеркала – точку О. Эти лучи отразятся так, что отраженные лучи 2¢ и 3¢ совпадут с падающими лучами.

Как видим из рис. 3.14, отраженный луч 1¢ не пересекается с отраженными лучами 2¢ и 3¢. Значит, действительных изображений точек А и В нет. Зато продолжение отраженного луча 1¢ пересекается с продолжениями отраженных лучей 2¢ и 3¢ в точках А¢ и В¢. Следовательно, точки А¢ и В¢ – мнимые изображения точек А и В.

Для построения изображений отрезков опустим перпендикуляры из точек А¢ и В¢ на главную оптическую ось. Как видно из рис. 3.14, изображения отрезков получились прямыми и уменьшенными. Причем чем ближе предмет к зеркалу, тем больше его изображение и тем ближе оно к зеркалу. Однако даже очень удаленный предмет не может дать изображение, удаленное от зеркала дальше главного фокуса зеркала.

Надеюсь, теперь понятно, почему, рассматривая свое отражение в выпуклой поверхности ложки, вы видели себя уменьшенным, но не перевернутым.

СТОП! Решите самостоятельно: А6.