По данному падающему?

Рис. 3.15

Задача 3.3.Дан ход луча 1, падающего на вогнутое зеркало в точке K (рис. 3.15). Постройте ход отраженного луча. Главный фокус и центр зеркала заданы.

Рис. 3.16

Решение. Прежде чем решать данную задачу, выясним, что произойдет, если на вогнутое зеркало направить пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси. Оказывается, что в этом случае отраженные от зеркала лучи пересекутся в побочном фокусе зеркала – точке f, лежащей на расстоянии от поверхности зеркала (рис. 3.16).

Если рассматривать лучи, составляющие только небольшие углы с главной оптической осью, то можно приближенно считать, что все побочные фокусы зеркала лежат в одной плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус зеркала. Эта плоскость называется фокальной плоскостью вогнутого зеркала. На рис. 3.16 фокальная плоскость показана отрезком АВ.

Теперь приступим собственно к решению задачи.

1. Проведем через центр зеркала (точку О) луч 2, параллельный данному падающему лучу 1 (рис. 3.17, а). Отраженный луч 2¢ совпадает с падающим лучом 2.

Рис. 3.17

2. Через точку F₁ проведем фокальную плоскость АВ. Точка пересечения луча 2¢ с плоскостью АВ – точка f – это побочный фокус зеркала (cм. рис. 3.17, а). Следовательно, все лучи, падающие на зеркало параллельно побочной оптической оси, которая совпадает с лучом 2, после отражения пересекутся в точке f, а значит, через эту точку пройдет и отраженный луч 1¢.

3. Проведем прямую через точку К и побочный фокус f, получим ход отраженного луча 1¢ (рис. 3.17, б).

СТОП! Решите самостоятельно: В2, В3.

Рис. 3.18

Задача 3.4.Дан ход луча 1, падающего на выпуклое сферическое зеркало в точке K (рис. 3.18). Постройте ход отраженного луча. Главный фокус и центр зеркала заданы.

Решение. Сначала выясним, что произойдет, если на выпуклое зеркало направить пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси (рис. 3.19, а). Оказывается, что в этом случае продолжения отраженных от зеркала лучей пересекаются в побочном фокусе выпуклого зеркала – точке f на расстоянии F = от поверхности зеркала (рис. 3.19, б).

Рис. 3.19

Если рассматривать только лучи, составляющие небольшие углы с главной оптической осью, то можно приближенно считать, что все побочные фокусы выпуклого зеркала лежат в одной плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус зеркала. Эта плоскость называется фокальной плоскостью выпуклого зеркала. На рис. 3.19, б фокальная плоскость показана отрезком АВ.

Теперь приступим к решению нашей задачи.

1. Проведем луч 2, совпадающий с побочной оптической осью зеркала и параллельный лучу 1 (рис. 3.20, а). Так как продолжение луча 2 проходит через центр зеркала – точку О, отраженный луч 2' совпадает с падающим.

Рис. 3.20

2. Проведем фокальную плоскость АВ. Тогда точка f – это побочный фокус. Все лучи, падающие на зеркало параллельно лучу 2, отражаются так, что продолжения отраженных лучей пересекаются в точке f. Следовательно, через побочный фокус f проходит и продолжение отраженного луча 1¢.

3. Проведем прямую через точку K и побочный фокус f, получим ход отраженного луча 1' (рис. 3.20, б).

СТОП! Решите самостоятельно: В4, В5, В7.

Рис. 3.21

Задача 3.5. Дана главная оптическая ось MN сферического зеркала, положение источника света S и его изображения S¢ (рис. 3.21). Найти построением полюс, главный фокус и центр зеркала.

Решение.

1. Из рис. 3.21 видно, что источник и изображение расположены по разные стороны от главной оптической оси, значит, изображение перевернутое. Кроме того, точка S¢ расположена от главной оптической оси дальше, чем точка S, значит, изображение увеличенное. Из этого можно сделать вывод, что зеркало вогнутое и источник находится между оптическим центром и фокальной плоскостью.

Рис. 3.22

2. Проведем через точки S и S¢ луч, на котором лежит и источник, и изображение – это луч, который при отражении от зеркала изменяет свое направление на противоположное, т.е. это луч, проходящий через центр зеркала – точку О. Тогда точка пересечения отрезка SS¢ с прямой MN – это центр зеркала (рис. 3.22).

Рис. 3.23

3. При отражении от полюса зеркала отраженный луч идет симметрично падающему относительно главной оптической оси (рис. 3.23). Значит, если пустить из точки S луч в полюс зеркала – точку Р, то симметричная точке S точка А будет лежать на отраженном луче.

Рис. 3.24

4. Теперь заметим, что любой отраженный луч должен пройти через изображение – точку S¢. Значит, у нас есть две точки, принадлежащие отраженному лучу: А и S¢. Проведем через них прямую и получим отраженный луч. А точка пересечения отраженного луча с главной оптической осью дает нам полюс зеркала – точку Р (рис. 3.24).

Рис. 3.25

5. Осталось найти фокус – точку F. Для этого пустим из точки S на зеркало луч SK, параллельный главной оптической оси. Отраженный луч должен, с одной стороны, пройти через изображение – точку S¢, а с другой – пересечь главную оптическую ось в главном фокусе зеркала. Проведем отрезок KS¢. Точка пересечения KS¢ с прямой MN – точка F – это и есть главный фокус зеркала (рис. 3.25).

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С1–С3.