Метод полной энергии

Пусть имеется некоторая колебательная система. Пусть смещение колеблющегося тела от положения равновесия равно х. Тогда скорость тела в момент времени t: υ_х = х¢(t).

Допустим, что нам удалось записать выражение для полной механической энергии системы в виде

Е = Ах² + В(х¢)². (5.1)

Тогда циклическая частота w такой системы равна

. (5.2)

Докажем наше утверждение.

Если в системе отсутствует трение, то полная механическая энергия системы остается постоянной: E(t) = const, а значит, производная энергии по времени равна нулю: E¢(t) = 0.

Продифференцируем выражение (5.1) и приравняем его производную к нулю:

Е¢(t) = (Ах²(t) + В(х¢(t)²)¢ = А×2х(t)х¢(t) + В×2×х¢(t)×х¢¢(t) = 0 Þ

2×х¢(t)×(Ах(t) + Вх¢¢(t)) = 0 Þ х¢¢(t) + = 0.

Мы получили уже хорошо знакомое нам уравнение, решением которого является функция х(t) = acos(wt + a), где .

Наше утверждение доказано.

Попробуем применить формулы (5.1) и (5.2) для решения задач.

Задача 5.6.Плоская Т-образная конструкция из трёх небольших шариков может свободно поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси О (рис. 5.8) (плоскость рисунка перпендикулярна оси О). Длина каждой спицы L, а масса пренебрежимо мала по сравнению с массой шариков. Определите период малых колебаний конструкции.


L	Рис. 5.9
T = ?
Рис. 5.8

Решение. Пусть масса каждого шарика равна т, и вся система повернулась на малый угол a. Тогда левый шарик опустился на х вниз, а правый поднялся на х вверх, следовательно, общая потенциальная энергия этих двух шариков не изменилась.

Нижний шарик поднялся вверх на величину h = l(1 – cosa). С учетом того, что при малых a , получим

Значит, если потенциальную энергию в положении равновесия считать равной нулю, то при отклонении системы на малый угол a потенциальная энергия будет равна

Скорости у всех трех шариков одинаковы и равны υ_х = х¢(t). Тогда кинетическая энергия системы равна

Находим полную энергию:

Е = П + К = + .

Сравнивая полученную формулу с (5.1), получим

, .

Тогда

Þ .

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: С6, С7, D7.

Задача 5.7.Два математических маятника длиной l каждый связаны невесомой пружиной с жесткостью k. На рис. 5.10 показано положение равновесия системы. Маятники отклоняют в плоскости рисунка на одинаковые углы и отпускают. Определите период Т малых колебаний связанных маятников, если: а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе); б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе). Масса каждого шарика равна т.


m k l	Решение. а) Пружина не деформируется при колебаниях, так что сила упругости не возникает (связь между маятниками «не работает») (рис. 5.11,а). Поэтому оба маятника колеблются независимо друг от друга с одним и тем же периодом .
T = ?

а	б

Рис. 5.11

б) Во втором случае (рис. 5.11,б) каждый шар отклонили на расстояние х, следовательно, пружина удлинилась на 2х, и ее потенциальная энергия стала равна