Чему равно гидростатическое давление?

Пусть в сосуде находится жидкость плотностью r. Попробуем найти разность давлений между двумя точками А и В, находящимися на одной вертикали, если расстояние между этими точками равно h (рис. 28.3,а).

Мысленно выделим в жидкости тонкий вертикальный цилиндр, такой, что ось цилиндра проходит через точки А и В, и пусть точка А лежит на нижнем основании, а точка В – на верхнем основании цилиндра (рис. 28.3,б). Пусть площадь основания цилиндра равна S. Рассмотрим все силы, действующие на наш воображаемый цилиндр в вертикальном направлении.

На верхнее основание со стороны жидкости действует сила давления F_B = p_BS, а на нижнее основание – сила давления F_А = р_АS. Кроме того, на цилиндр действует еще одна сила – сила тяжести цилиндра . Силы и направлены вниз, а сила – вверх. Так как вся жидкость, а значит, и наш цилиндр неподвижны, то равнодействующая сил, действующих на цилиндр в вертикальном направлении, равна нулю. Следовательно, сумма величин сил, направленных вниз, F_B + mg равна величине силы, направленной вверх F_A:

F_A = F_B + mg. (1)

Масса цилиндра т = rV, где V = Sh – объём цилиндра. Отсюда т = rSh. Подставляя значения F_A, F_В и т в равенство (1), получим:

p_AS = p_ВS +rShg.

Вынесем в правой части S за скобки

p_AS = S (p_В +rhg)

и разделим обе части последнего равенства на S, получим:

p_A = p_В +rhg.

Отсюда находим

p_A – p_В = rhg. (28.1)

Заметим, что если точку В взять на поверхности жидкости, то давление жидкости в этой точке будет равно нулю: р_В = 0, а величина р_А будет равна величине давления жидкости на глубине h:

p = rgh. (28.2)

Формула (28.2) позволяет рассчитывать гидростатическое давление в жидкости на глубине h. Заметим, что это давление зависит только от плотности жидкости r, напряженности гравитационного поля g и глубины h. От формы сосуда, в который налита жидкость, гидростатическое давление никак не зависит.

Задача 28.1. Сосуд с водой движется вертикально вверх с ускорением а. Найти давление на глубине Н. Плотность воды ρ.

а Н ρ	Решение. Перейдем в н.с.о., связанную с сосудом. В этом случае на сосуд действуют силы и (рис. 28.4). Их равнодействующая по модулю	Рис. 28.4
р = ?

равна . Тогда можно считать, что сосуд находится в таких же условиях, как если бы он покоился, но ускорение свободного падения было бы равно . Отсюда давление на

глубине Н

р = ρ g¢Н = ρ(g + a)Н.

Можно рассуждать и так: при движении с ускорением , направленным вверх, вес воды возрастает и становится равным Р = =т(g +а),тогда давление

Ответ: р = ρ(g + a)Н.

СТОП! Решите самостоятельно: В7, С1, С2, С4.

Задача 28.2. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Диаметр левого сосуда в четыре раза больше диаметра правого сосуда (рис. 28.5,а). В левый сосуд наливают столб воды высотой h₀ = = 70 см. На сколько поднимется уровень ртути в правом сосуде и на сколько опустится в левом? ρ_в = 1,0 г/см³, ρ_р = 13,6 г/см³.

d₁ = 4d₂ h₀ = 70 см ρ_в = 1,0 г/см³ ρ_р = 13,6 г/см³	Рис. 28.5
h₁ = ? h₂ = ?

Решение.

1. Давление на уровне АВ в левом и правом сосудах равно, поэтому ρ_вgh₀ = ρ_рgх.

2. При доливании воды часть ртути объема S₂h₂ перешла из левого сосуда в правый, объем ртути в котором увеличился на S₁h₁ (рис. 28.5,б). Отсюда S₂h₂ = S₁h₁.